第一章 仿射几何.pptVIP

第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日§1.1平行射影与仿射对应一.两直线间的平行射影与仿射对应ABCD1.平行射影或透视仿射：若直线且,，≠≠,点A,B,C,D……,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于……，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为T第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日ABCD原象点：A,B,C,D……直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射O点O为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点)映象点：……直线上的点记透视仿射T：………第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日2.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链表示透视仿射链，T表示仿射（如图）………………第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的二.两平面的平行射影与仿射对应：1.平行射影：如图点A,B,C共线a，则共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链性质：1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保留点与直线的结合性2仿射：第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日§1.2仿射不变性与不变量定义1仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射不变的性质和数量仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.定理1：两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）推论平行四边形是仿射不变的图形.定义2简比：设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义为以下有向线段的比：当点C在线段AB上时，(ABC)0第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日当点C在线段AB或BA的延长线上时，当点C与点A重合时，当点C与点B重合时，当点C为线段AB的中点时，(ABC)=-1则点C称为分点，A,B两点称为基点简比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数例1经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解:设(ABC)?0(ABC)=0(ABC)不存在第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射不变量.∴点P在直线x+3y-6=0上.ABC==要证:第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日ABCDE证明:如图,作DEAC,==∵简比是仿射不变量∴定理4一直线上两线段之比是仿射不变量.定理5在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日gABC证明:设T为到的一个透视仿射,如图并且则=若ABg,==g,则显然成立.若ABg,=g,=过A,,B,分别引轴g的垂线垂足分别为由相似三角形得:第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图ABCg一般情形:如图第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与对应,三对对应边相交于对应轴g上.ABCgXYZ由的证明可得:第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日§1.3平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射设为平面到平面