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2025年统招专升本云南省高数二考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,1)B.(1,+∞)C.(∞,2)D.(2,+∞)

答案：D

解析：求导得f(x)=3x^23，令f(x)0，解得x1或x1。由于函数在x=2处取得极小值，故单调递增区间为(2,+∞)。

2.设函数y=x^2e^x，求y的极小值点（）

A.x=0B.x=1C.x=1D.x=2

答案：B

解析：求导得y=2xe^x+x^2e^x，令y=0，解得x=0或x=2。当x=1时，y取得极小值。

3.设函数y=sin(2x+π/6)，则函数的周期是（）

A.π/2B.πC.2πD.3π

答案：B

解析：由于函数y=sin(2x+π/6)是正弦函数的变形，其周期为2π/2=π。

4.设函数y=x^3+3x^2+3x+1，求y的二阶导数（）

A.6x^2+6x+2B.6x^2+6xC.6x^2+3D.6x+3

答案：A

解析：求导得y=3x^2+6x+3，再求导得y=6x^2+6x+2。

5.设f(x)=e^x+2x，求f的反函数f^(1)(x)（）

A.ln(x2)B.ln(x+2)C.2ln(x)D.ln(x)

答案：B

解析：设y=f(x)，则x=ln(y2)，交换x和y的位置，得f^(1)(x)=ln(x+2)。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^24x+3，求f(x)的顶点坐标是______。

答案：(2,1)

解析：将f(x)写成顶点式，得f(x)=(x2)^21，顶点坐标为(2,1)。

7.求极限lim(x→0)(sinxtanx)/x^3=______。

答案：2/3

解析：利用泰勒展开，sinx≈xx^3/6，tanx≈x+x^3/3，代入得lim(x→0)(sinxtanx)/x^3=lim(x→0)(x^3/2)/x^3=2/3。

8.设函数y=e^xln(x)，求y的导数y=______。

答案：(e^x/x)+(e^xln(x))

解析：利用乘积法则和链式法则求导。

9.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的拐点坐标是______。

答案：(1,1)

解析：求二阶导数f(x)=6x6，令f(x)=0，解得x=1。代入f(x)得f(1)=1，拐点坐标为(1,1)。

10.设函数f(x)=2x^33x^212x+8，求f(x)的极值点及极值是______。

答案：极小值点x=2，极小值f(2)=8；极大值点x=1，极大值f(1)=15。

解析：求导得f(x)=6x^26x12，令f(x)=0，解得x=2或x=1。分别代入f(x)求得极值。

三、解答题（每题25分，共50分）

11.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的单调区间、极值点及极值。

答案：单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(∞,2)。极小值点x=2，极小值f(2)=4e^2。无极大值。

解析：求导得f(x)=2xe^x+x^2e^x，令f(x)=0，解得x=0或x=2。当x=2时，f(x)取得极小值。

12.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的拐点及凹凸区间。

答案：拐点坐标为(1,2)。凹区间：(1,+∞)，凸区间：(∞,1)。

解析：求二阶导数f(x)=6x6，令f(x)=0，解得x=1。代入f(x)得f(1)=2，拐点坐标为(1,2)。根据二阶导数的正负判断凹凸区间。