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2025年统招专升本云南省高等数学考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)在区间（a，b）内连续，且f(a)f(b)0，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间（a，b）内单调增加

B.f(x)在区间（a，b）内单调减少

C.f(x)在区间（a，b）内至少有一个零点

D.f(x)在区间（a，b）内没有零点

答案：C

解析：根据零点定理，若函数在区间（a，b）内连续，且f(a)f(b)0，则在区间（a，b）内至少存在一个零点。

2.设函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调递增区间。

A.(∞,2)

B.(2,+∞)

C.(∞,3)

D.(3,+∞)

答案：B

解析：f(x)=3x^26，令f(x)0，解得x2或x2。故f(x)在区间（2,+∞）上单调递增。

3.设函数f(x)=e^xx，求f(x)的极值。

A.极大值1

B.极小值1

C.极大值e

D.极小值e

答案：B

解析：f(x)=e^x1，令f(x)=0，解得x=0。f(0)=1，f(x)=e^x0，故x=0是极小值点，极小值为1。

4.若lim(x→∞)f(x)=0，则下列结论正确的是（）

A.lim(x→∞)[f(x)]^2=0

B.lim(x→∞)[f(x)]^2=1

C.lim(x→∞)[f(x)]^2=f(x)

D.无法判断

答案：A

解析：由于lim(x→∞)f(x)=0，当x趋向于无穷大时，f(x)的绝对值越来越小，故[f(x)]^2的极限也为0。

5.设函数f(x)=sinx+cosx，求f(x)的周期。

A.π

B.2π

C.4π

D.1

答案：B

解析：sinx和cosx的周期均为2π，故f(x)的周期也为2π。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^22x+1的导数为________。

答案：2x2

解析：根据导数的定义，f(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)f(x)]/Δx，代入f(x)=x^22x+1，可得f(x)=2x2。

7.函数f(x)=2e^x3x+5的极值点为________。

答案：x=3

解析：f(x)=2e^x3，令f(x)=0，解得x=3。f(x)=2e^x0，故x=3是极小值点。

8.设函数f(x)=x^33x^2+4x5，求f(x)的拐点坐标。

答案：(1,3)

解析：f(x)=3x^26x+4，f(x)=6x6。令f(x)=0，解得x=1。f(1)=3，故拐点坐标为(1,3)。

9.函数f(x)=x^36x+9在区间（∞,+∞）内的单调递减区间为________。

答案：(∞,2)

解析：f(x)=3x^26，令f(x)0，解得x2。故f(x)在区间(∞,2)内单调递减。

10.函数f(x)=sinxcosx的周期为________。

答案：2π

解析：sinx和cosx的周期均为2π，故f(x)的周期也为2π。

三、解答题（每题25分，共75分）

11.设函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调区间和极值。

答案：f(x)在区间(∞,2)上单调递减，在区间(2,+∞)上单调递增；f(x)的极小值为f(2)=1。

12.设函数f(x)=e^xx^2，求f(x)的极值和拐点。

答案：f(x)的极大值为f(1)=e1，极小值为f(0)=1；拐点坐标为(1,e1)。

13.设函数f(x)=sinx+cosx，求f(x)的最小正周期，并求出一个周期内的最大值和最小值。

答案：f(x)的最小正周期为2π；一个周期内的最大值为√2，最小值为√2。