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六年级奥数第三讲：分数计算技巧--整体约分法

同学们，在我们的数学学习中，分数计算是一块非常重要的内容，尤其是到了奥数阶段，分数的运算往往不再是简单的分子分母直接相乘除加减，而是充满了各种巧妙的变形和技巧。今天我们要一起探讨的“整体约分法”，就是解决复杂分数计算问题的一把金钥匙。掌握了它，很多看似繁琐的计算就能迎刃而解，大大提高我们的解题效率和准确性。

一、从熟悉的场景入手：什么是“整体”？

在学习新方法之前，我们先回顾一下分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的不为零的数，分数的大小不变。这是我们进行约分的基础。比如`6/8`，我们可以约去分子分母的公因数2，得到`3/4`。这里我们约去的是单个的数字因数。

但在奥数题中，我们常常会遇到这样的情况：分子和分母本身都是一个复杂的算式，直接计算分子分母的值会非常麻烦。这时，如果我们能把分子或分母中的某个“部分算式”看作一个整体，发现分子和分母中存在这样相同的“整体”，那么就可以像约去单个因数一样，把这个“整体”约去，从而简化计算。这就是我们今天要学习的“整体约分法”。

二、初识“整体约分”：简单例子引路

我们先来看一个不算太复杂的例子，感受一下“整体约分”的魅力：

例1：计算`(1/2+1/3)/(1/2+1/3+1/6)`

如果我们按照常规方法，先分别计算分子和分母：

分子：`1/2+1/3=3/6+2/6=5/6`

分母：`1/2+1/3+1/6=3/6+2/6+1/6=6/6=1`

所以结果是`(5/6)/1=5/6`。

这个计算过程还算可以，但我们观察一下分子和分母，会发现分子`(1/2+1/3)`其实是分母的一部分。如果我们把分子这个“整体”看作一个数，比如设`A=1/2+1/3`，那么分母就是`A+1/6`。但这里分母并不是`A`的倍数，所以这个例子可能还不够典型。

我们再来看一个例子：

例2：计算`((1+1/2)×(1-1/2))/((1+1/3)×(1-1/3))×((1+1/3)×(1-1/3))/((1+1/4)×(1-1/4))`

这个题目，如果我们直接把每个小括号里的结果算出来再相乘，当然可以，但步骤会比较多。我们仔细观察一下，前一个分数的分母是`(1+1/3)×(1-1/3)`，而后一个分数的分子恰好也是`(1+1/3)×(1-1/3)`。这里，`(1+1/3)×(1-1/3)`就是一个可以被约去的“整体”。所以，这两个部分相乘就等于1，整个式子就简化成了`((1+1/2)×(1-1/2))/((1+1/4)×(1-1/4))`，接下来再计算就简单多了。这就是“整体约分”的一个初步应用：当算式中出现相同的“整体”乘积或加减形式时，可以将其视为一个整体进行约分。

三、深入理解“整体约分法”：特点与关键

通过上面的例子，我们可以初步总结出“整体约分法”的一些特点：

1.形式特点：通常出现在一个复杂的分数式中，分子和分母都是由几个数或算式通过四则运算组合而成。

2.核心关键：能够准确识别出分子和分母中存在的相同的“整体算式”。这个“整体算式”可能是几个数的和、差、积、商，或者是更复杂的组合。

3.操作目的：将这个相同的“整体算式”看作一个公因数，进行约分，从而大幅简化计算过程。

为了更好地掌握这个技巧，我们来看一个更具代表性的例题：

例3：计算`(1/2+1/3+1/4)/(2+2/3+2/4)`

分析与解答：

首先，我们观察分子是`1/2+1/3+1/4`，分母是`2+2/3+2/4`。我们能不能把分母也变成和分子类似的形式呢？

我们看分母中的每一项：2可以写成`2×1`，`2/3`可以写成`2×(1/3)`，`2/4`可以写成`2×(1/4)`。所以，分母可以提取公因数2，变形为`2×(1+1/3+1/4)`。等等，分子是`1/2+1/3+1/4`，分母是`2×(1+1/3+1/4)`，分子和分母中`1/3+1/4`是相同的，但前面的数不同。哦，我刚才看错了，分子第一项是`1/2`，不是`1`。

那我们再仔细看看，分子是`1/2+1/3+1/4`，分母是`2+2/3+2/4`。如果我们把分子整体乘以4，会得到`4×(1/2+1/3+1/4)=2+4/3+1`，好像和分母还是不一样。或者，我们把分母中的每一项都