第1章 三角形的证明（存在性问题）（培优篇）.docxVIP

三角形的证明（存在性问题）

（培优篇）

1．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点的坐标为．

(1)求点的坐标；

(2)如图，在轴上找一点，使得的值最小，并写出点的坐标；

(3)在第四象限是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C的坐标为．

(1)当时，则C点的坐标为（_____，______）；

(2)动点B在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由．

(3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．

(1)求直线的解析式；

(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；

(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．

点运动结束，运动时间______；

当点P到边、的距离相等时，求此时t的值；

在点P运动过程中，是否存在t的值，使得△ACP为等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

5．康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，．

①在图1中补全图形；

②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形．

请你回答是三角形；

③利用图1证明这个结论．

康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P．

①按要求画出图形；

②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填，，=）；

③证明②的结论．

在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________．

6．如图，在中，，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿折线向终点运动．

(1)点在上运动的过程中，当______时，与的面积相等；

(2)点在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数；

(3)若点是斜边的中点，当动点在上运动时，线段所在直线上存在另一动点，使两线段、的长度之和，即的值最小，则此时的长度=______．（填空题直接写出答案）

7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，两点的坐标分别为，且，点从出发以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．

(1)求两点的坐标；

(2)连接，当的面积是2，求的值？

(3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标．

8．如图，在等腰中，，作射线，是腰的高线，是外射线上一动点，连结．

当，时，求的长；

当时；求证：；

设的面积为，的面积为，且，在点的运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．

9．如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线运动，设运动时间为t秒．

(1)把沿着直线翻折，当t为何值时，点C恰好落在直线上．

(2)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

10．小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．

【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，，相交于点F．求证：；

【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，判断与还相等吗？并说明理由；

【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F，交于点E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，请直接写出与之间的数量关系．

11．（1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，．试探究与的数量关系，并说明理由．

问题探究：

（2）如图②，四边形中，，，，，求BD的长．

问题解决：

（3）如图③，中，，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由．

12．一次函数y＝kx＋b的图象经过A（－1，2），B（4，－）两点，并且与x轴交于点C，与y轴交于点E．

(1)求一次函数的表达式；

(2)若在x轴上有一动点D，当S△ABD＝2S△AOB时