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第1页，共37页，星期日，2025年，2月5日先来看一个例子例1换元求不定积分令则故第2页，共37页，星期日，2025年，2月5日为去掉根号令则当x从0连续地增加到4时，t相应地从1连续地增加到3于是尝试一下直接换元求定积分第3页，共37页，星期日，2025年，2月5日将上例一般化就得到定积分的换元积分公式由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量第4页，共37页，星期日，2025年，2月5日一、换元公式第5页，共37页，星期日，2025年，2月5日证第6页，共37页，星期日，2025年，2月5日第7页，共37页，星期日，2025年，2月5日应用换元公式时应注意:（1）（2）第8页，共37页，星期日，2025年，2月5日计算解1由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解2故o例2第9页，共37页，星期日，2025年，2月5日令解4令仍可得到上述结果解3第10页，共37页，星期日，2025年，2月5日解令例3计算第11页，共37页，星期日，2025年，2月5日定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把x换成t，t换成x这说明可用引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限注第12页，共37页，星期日，2025年，2月5日例4计算解第13页，共37页，星期日，2025年，2月5日例5计算解原式第14页，共37页，星期日，2025年，2月5日例6计算解一令原式第15页，共37页，星期日，2025年，2月5日解二接解一对令则第16页，共37页，星期日，2025年，2月5日证第17页，共37页，星期日，2025年，2月5日即：奇函数在对称区间上的积分等于0偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间上积分的两倍由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的第18页，共37页，星期日，2025年，2月5日例8计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积第19页，共37页，星期日，2025年，2月5日第20页，共37页，星期日，2025年，2月5日（1）设（2）设证第21页，共37页，星期日，2025年，2月5日第22页，共37页，星期日，2025年，2月5日另证将上式改写为奇函数第23页，共37页，星期日，2025年，2月5日例10设f(x)是以L为周期的连续函数，证明证明与a的值无关第24页，共37页，星期日，2025年，2月5日例11设f(x)连续，常数a0证明证明比较等式两边的被积函数知，第25页，共37页，星期日，2025年，2月5日第26页，共37页，星期日，2025年，2月5日
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