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2025年陕西省高等数学（专升本）考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间[a,b]上必为常数函数

B.f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点

C.f(x)在区间(a,b)内单调递增

D.f(x)在区间(a,b)内单调递减

【参考答案】B

【解析】根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0。

2.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,1]

B.[1,+∞)

C.(∞,2]

D.[2,+∞)

【参考答案】D

【解析】求导得f(x)=3x^212x+9，令f(x)0，解得x1或x3。因此，f(x)的单调递增区间为[3,+∞)。

3.已知函数f(x)在x=1处可导，且f(1)=2，则下列极限值正确的是（）

A.lim(x→1)[f(x)f(1)]/(x1)=2

B.lim(x→1)[f(x)f(1)]/(x1)^2=2

C.lim(x→1)[f(1+x)f(1)]/x=2

D.lim(x→1)[f(1x)f(1)]/(x)=2

【参考答案】A

【解析】根据导数的定义，lim(x→1)[f(x)f(1)]/(x1)=f(1)=2。

4.设函数f(x)=e^xe^(x)，求f(x)的极小值点是（）

A.x=0

B.x=1

C.x=1

D.x=ln2

【参考答案】C

【解析】求导得f(x)=e^x+e^(x)，令f(x)=0，解得x=1。再求二阶导数f(x)=e^xe^(x)，当x=1时，f(1)=e^(1)e^(1)0，所以x=1是f(x)的极小值点。

5.已知函数f(x)在区间(a,b)内连续，且对于任意x1,x2∈(a,b)，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间(a,b)内为线性函数

B.f(x)在区间(a,b)内为指数函数

C.f(x)在区间(a,b)内为对数函数

D.f(x)在区间(a,b)内为幂函数

【参考答案】A

【解析】根据函数的性质，f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，可推出f(0)=0，f(x2)=f(x1)+f(x1+x2x1)=2f(x1)，即f(x)=kx（k为常数），所以f(x)在区间(a,b)内为线性函数。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=2x^33x^2+5在x=1处的切线斜率是______。

【参考答案】7

【解析】求导得f(x)=6x^26x，所以f(1)=66=0，故切线斜率为7。

7.函数f(x)=e^xx^2的单调递减区间是______。

【参考答案】(∞,1]

【解析】求导得f(x)=e^x2x，令f(x)0，解得x1，所以f(x)的单调递减区间为(∞,1]。

8.函数f(x)=x^33x在x=0处的二阶导数是______。

【参考答案】6

【解析】求导得f(x)=3x^23，再求导得f(x)=6x，所以f(0)=6。

9.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，至少存在一点______，使得f(c)=0。

【参考答案】c∈(a,b)

10.设函数f(x)=x^2+kx+1，若f(x)在x=1处的极值点是极大值点，则实数k的取值范围是______。

【参考答案】k0

【解析】求导得f(x)=2x+k，令f(1)=0，解得k=2。再求二阶导数f(x)=2，当k0时，f(1)0，所以x=1是f(x)的极大值点。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的单调区间。

【参考答案】

求导得f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，解得x=1或x=3