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2025年山西数学（理科）专升本考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=2x3在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a0

B.a≥1

C.a≤1

D.a1

答案：C

解析：由于f(x)=2x3在区间（1，+∞）上是增函数，所以导数f(x)=20。因此，a的取值范围应满足a≤1。

2.已知函数g(x)=x22x+3，求g(x)的单调递减区间（）

A.（∞，1]

B.[1，+∞）

C.（∞，1）

D.[1，+∞）

答案：C

解析：g(x)的导数g(x)=2x2。当g(x)0时，g(x)单调递减。解不等式2x20，得x1。因此，g(x)的单调递减区间为（∞，1）。

3.已知函数h(x)=x33x，求h(x)的极值点（）

A.x=0

B.x=1

C.x=1

D.x=2

答案：B

解析：h(x)的导数h(x)=3x23。令h(x)=0，得x=1。又因为h(x)=6x，当x=1时，h(1)=60，所以x=1是h(x)的极小值点。

4.设函数f(x)=3x24x+1，求f(x)与x轴的交点个数（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：求f(x)与x轴的交点，即解方程3x24x+1=0。根据判别式△=b24ac=(4)24×3×1=1612=40，方程有两个实数解，所以f(x)与x轴有两个交点。

5.若a，b是方程x22ax+b=0的两根，且ab，则方程x2(a+b)x+ab=0的根是（）

A.a，b

B.a，b

C.a，b

D.a，b

答案：B

解析：根据韦达定理，a+b=2a，ab=b。将a+b和ab代入方程x2(a+b)x+ab=0，得x22ax+b=0，所以方程的根为a和b。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数f(x)=x22x+1在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤1

7.已知函数g(x)=x33x2+2，求g(x)的极值点坐标为______。

答案：（2，2）

8.设函数h(x)=x24x+4，求h(x)的对称轴方程是______。

答案：x=2

9.若方程x22ax+a21=0有两个相等的实数根，则实数a的值是______。

答案：1

10.已知函数f(x)=x33x2+4x1，求f(x)的拐点坐标为______。

答案：（1，1）

三、解答题（每题25分，共50分）

11.已知函数f(x)=x36x2+9x+1，求f(x)的单调区间和极值。

解答：

f(x)的导数f(x)=3x212x+9。令f(x)=0，得x=1或x=3。

当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x3时，f(x)0，f(x)单调递减；当x3时，f(x)0，f(x)单调递增。

所以f(x)的单调递增区间为（∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为[1，3]。

当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=1；当x=3时，f(x)取得极小值f(3)=1。

12.已知函数g(x)=x22ax+a2+1，求g(x)的图像与x轴的交点个数，并讨论a的取值范围。

解答：

g(x)的判别式△=b24ac=(2a)24(a2+1)=4a24a24=4。

当a=0时，g(x)与x轴有一个交点（0，1）。

当a≠0时，由于判别式△0，g(x)与x轴无交点。

综上所述，当a=0时，g(x)与x轴有一个交点；当a≠0时，g(x)与x轴无交点。