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2025年陕西数学专升本考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x^33x在区间[2,2]上的最大值是8，最小值是8，则f(x)在区间[2,2]上必有一个零点。

A.正确

B.错误

答案：B

解析：函数f(x)=x^33x在区间[2,2]上连续，且f(2)=2，f(2)=2，根据零点定理，f(x)在区间[2,2]上至少有一个零点。但题目中的“必有一个零点”说法不准确，因此选B。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则该数列的通项公式为：

A.an=2n

B.an=2n+1

C.an=n+1

D.an=n^2

答案：C

解析：等差数列的前n项和Sn=n^2+n，当n=1时，a1=S1=2。当n≥2时，an=SnSn1=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n。所以通项公式为an=n+1，选C。

3.设函数y=f(x)在x=2处的导数为f(2)=3，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为：

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：D

解析：导数f(x)表示函数在某一点处的切线斜率，所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为f(2)=3，选D。

4.设函数f(x)=x^24x+3，求f(x)的极值点。

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.无极值点

答案：B

解析：求导数f(x)=2x4，令f(x)=0得x=2。f(x)=2，f(2)0，所以x=2是f(x)的极小值点，选B。

5.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求行列式|A|的值。

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：D

解析：行列式|A|=1423=46=2，所以选D。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=x^24x+3在区间[1,3]上的最大值是______，最小值是______。

答案：最大值4，最小值1

解析：求导数y=2x4，令y=0得x=2。y(2)=2^242+3=1，所以最小值是1。y(1)=(1)^24(1)+3=8，所以最大值是4。

2.若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第五项a5=______。

答案：162

解析：等比数列的通项公式为an=a1q^(n1)，所以a5=23^(51)=281=162。

3.设函数y=f(x)在x=1处的导数f(1)=2，且f(1)=3，则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是______。

答案：y=2x+1

解析：切线方程的一般形式为yy1=k(xx1)，其中k为切线斜率，(x1,y1)为切点坐标。所以切线方程为y3=2(x1)，整理得y=2x+1。

4.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的逆矩阵A^1。

答案：A^1=[[2,1],[3,1]]

解析：求逆矩阵的公式为A^1=(1/|A|)adj(A)，其中|A|为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。计算得|A|=1423=2，adj(A)=[[4,2],[3,1]]，所以A^1=(1/2)[[4,2],[3,1]]=[[2,1],[3,1]]。

5.设函数y=f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调增区间。

答案：(∞,1)和(2,+∞)

解析：求导数f(x)=3x^23，令f(x)0得x1或x2。所以f(x)的单调增区间为(∞,1)和(2,+∞)。

三、解答题（每题20分，共60分）

1.已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的极大值和极小值。

解：求导数f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0得x=1或x=3。f(x)=6x12，f(1)=60，f(3)=60。所以f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=3处取得极小值。极大值为f(1)=1^361^2+91+1=5，极小值为f(3)=3^363^2+93+1=1。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+3n，求该数列