概率与数理统计.pptVIP

第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日(1)随机变量的分布虽然全面完整地反映了随机变量的概率性质，但有时却不够集中突出地反映随机变量的某些特征。需要引进一些数量来表示平均值和衡量偏离程度。研究随机变量的数字特征的必要性随机变量的数字特征(2)在许多实际问题中，随机变量的分布并不容易求出。(3)在许多实际问题中，完全、确切地掌握随机变量的分布并不必要，而只需知道它的某些特征就够了。例：在测量某零件的长度时，由于种种偶然因素的影响，测量到的零件的长度是一个随机变量，一般我们关心的是测量的平均长度以及测量结果的精确程度—测量的长度与平均值的偏离程度。表示平均值和衡量偏离程度的量虽然不能完整地描述随机变量，但它能够描述随机变量的某些重要特征，我们把其称为随机变量的数字特征。第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日解：直接比较，难知两射手技术的优劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述两射手技术水平的数字特征。让我们先来研究概率论中刻划平均值的数字特征。例：甲乙两人各射击1000次，其命中环数的次数为随机变量，记为X1,X2。射击情况如表1所示。试问甲乙二人谁的水平较高？表1X1525200501007550X240020024515500环数xi1098765不难计算出两射手命中目标的“平均环数”分别为从平均环数看，甲比乙水平高一点。频率以频率为权数的加权平均值第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日不难看出，由于频率的随机性，如果让甲乙二人再各射击1000次同样计算，结果一般不会相同。若令fi表示频率，则上述二式可表示为由概率的统计定义知道，在大量试验下频率fi概率pi稳定于从而稳定于表2P(X1=xi)0.5260.20.050.10.0740.05环数xi1098765P(X2=xi)0.3980.20.2450.15700若甲、乙的命中环数X1,X2的分布列如表2所示，概率以概率为权数的加权平均值数学期望则??第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日第一节数学期望（均值）离散型随机变量的数学期望就是其取值的加权平均值，权为概率。一离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量X的概率函数为P(X=xi)=pii=1,2,…若级数绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望简称期望或均值。记作EX，即EX=如果级数不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在对要求绝对收敛的说明：离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的，对同一个随机变量，它的取值的列举次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期望是不应该改变的，这就意味着级数的求和次序可以改变而其和要保持不变，要达到这一点，必须有绝对收敛。注意数学期望的直观含义：平均值第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日例：一批产品中有一、二、三等、四等品、废品5种,相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元、0元。产值X是一个随机变量，其分布如表3求：产品的平均产值。例：设离散型随机变量X的概率函数为解：EX=6?0.7+5.4?0.1+5?0.1+4?0.06+0?0.04=5.48(元)解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表3求：EX第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日记为设连续型随机变量X的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分为X的数学期望。例：计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量X的数学期望解：依题意二连续型随机变量的数学期望结论：在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变