第五章插值型数值微分与数值积分.pptVIP

第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日5.1插值型数值微分公式故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。这类公式称为插值型数值微分公式。当x为插值节点xi时，上式简化为一般地第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日5.1.1常用的数值微分公式即1.两点公式(n=1)这称为两点公式。第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日两点公式的截断误差为这里第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日2.三点公式(n=2)这称为三点公式，其中（5—4b）又称为中点公式。第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日三点公式的截断误差为这里第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日进一步由可得计算公式第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设f(x)四阶连续可微，故得从而得到误差估计式二阶导数的截断误差第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日例1：已知列表x2.52.552.602.652.70y1.581141.596871.612451.627881.64317解:h=0.05第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日例5.1为计算在x=2处的一阶导数值，我们可选用中点公式当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。而精确值为，可见当h=0.1时近似结果最好，步长太大或太小计算效果均不好。第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日5.2插值型数值积分x0x1---xi-1xixi+1---xnf(x0)f(x1)---f(xi-1)f(xi)f(xi+1)---f(xn)2.由下列列表函数求L-插值多项式称为插值型求积公式，称为求积节点，称为求积系数，其和第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日5.2.1Newton-Cotes公式则，考虑等距节点的情形——牛顿-柯特斯公式Cotes系数第12页，共39页，星期日，2025年，2月5日n=1,2,4的N-C公式这称为梯形公式；几何意义：用梯形面积代替f(x)作为曲边的曲边梯形面积。图1梯形公式ab第13页，共39页，星期日，2025年，2月5日这称为Simpsion公式图2Simpson公式ab几何意义：用抛物线作曲边的曲边梯形面积代替f(x)作为曲边的曲边梯形面积。第14页，共39页，星期日，2025年，2月5日对应于情形的Cotes系数见表5-2(书106页)。这称为Cotes公式。求积公式的稳定性分析第15页，共39页，星期日，2025年，2月5日5.2.2复合求积公式第16页，共39页，星期日，2025年，2月5日当取m=1时，称为复合梯形公式，简记为Tn1.复合梯形公式=1为第17页，共39页，星期日，2025年，2月5日当取m=2时，称为复合Simpson公式，简记为Sn2.复合Simpson公式第18页，共39页，星期日，2025年，2月5日当取m=4时，称为复合Cotes公式，简记为Cn(公式见书107页））3.复合Cotes公式第19页，共39页，星期日，2025年，2月5日例5.2试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合Simpson公式和复合Cotes公式计算定积分解：1.写出公式第20页，共39页，星期日，2025年，2月5日2.确定h第21页，共39页，星期日，2025年，2月5日3.列表kxkf(xk)T8S4C2000.0000001171