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五年级奥数整除专项训练题

同学们，在数学的世界里，“整除”是一个非常基础且重要的概念，它不仅在我们的课本知识中频繁出现，也是奥数学习中许多复杂问题的基石。掌握了数的整除特征和相关技巧，能帮助我们快速解决很多数学难题，提升解题效率。今天，我们就来一起深入学习五年级奥数中与整除相关的知识，并通过一些精选的训练题来巩固和提升。

一、整除的基本概念与常用判断方法

首先，我们回顾一下整除的概念：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

在奥数中，我们经常需要判断一个数能否被另一个数整除，除了直接计算，熟记一些常用的整除判断方法能让我们事半功倍：

1.能被2整除的数：一个数的个位如果是偶数（0、2、4、6、8），那么这个数就能被2整除。这很好理解，因为偶数本身就是2的倍数。

2.能被5整除的数：一个数的个位如果是0或5，那么这个数就能被5整除。这是因为10是5的倍数，所以个位之前的数都是10的倍数，自然也是5的倍数，只需看个位即可。

3.能被3或9整除的数：一个数各个数位上的数字之和如果能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。这个规律的原理稍微复杂一点，可以理解为每个数位代表的数值都可以表示成9的倍数加上该数位上的数字，所以整体的和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

4.能被4或25整除的数：一个数的末两位数如果能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。因为100是4和25的公倍数，所以末两位之前的数都是100的倍数，自然也是4和25的倍数，只需看末两位。

5.能被8或125整除的数：一个数的末三位数如果能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。道理和4、25类似，因为1000是8和125的公倍数。

6.能被7整除的数：判断一个数能否被7整除，可以用“割尾法”：把这个数的末位数字去掉，再从余下的数中，减去末位数字的2倍，如果差是7的倍数（包括0），则原数能被7整除。如果差比较大或者仍然不易看出，就需要继续上述过程，直到能清晰判断为止。例如，判断133是否7的倍数：13-3×2=7，7是7的倍数，所以133是7的倍数。

7.能被11整除的数：一个数从右往左数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就能被11整除。例如，判断286：奇位和是2+6=8，偶位和是8，8-8=0，0是11的倍数（0倍），所以286能被11整除。

这些是最基本也是最常用的整除判断方法，同学们一定要熟练掌握。

二、典型例题解析

例题1：五位数A329B能被72整除，请问A和B分别是多少？

解析：我们知道，72可以分解成8×9，并且8和9是互质数（它们的最大公约数是1）。所以，如果一个数能同时被8和9整除，那么它就能被72整除。这是运用了“整除的性质”：如果数a能同时被数b和数c整除，且b和c互质，那么a就能被b和c的乘积整除。

那么，我们就分别从能被8和能被9整除这两个条件入手。

首先看能被8整除的条件：一个数能被8整除，看它的末三位数。这个五位数的末三位是29B。所以，29B必须能被8整除。我们来计算一下：290÷8=36余2，那么290+(8-2)=296，296÷8=37，刚好整除。所以B是6。

再看能被9整除的条件：一个数能被9整除，看它各位数字之和。现在这个数是A3296，各位数字之和是A+3+2+9+6=A+20。这个和必须是9的倍数。我们知道9×2=18，9×3=27。A是一个数位上的数字，所以A只能是0-9之间的整数（首位不能为0，但这里A是万位，所以A至少是1）。A+20=27时，A=7；A+20=18时，A=-2，不符合题意。所以A只能是7。

综上，A是7，B是6。这个五位数是____。

例题2：一个四位数，它的各位数字之和是35，这个四位数最大是多少？它能被11整除吗？

解析：首先，要使四位数最大，那么它的高位上的数字应该尽可能大。我们知道，每个数位上最大的数字是9。四个9的和是36，而题目中各位数字之和是35，比36少1。所以，我们只需要把其中一个9减去1，并且为了保证数最大，我们应该从最低位开始减。

所以，最大的四位数应该是9998（9+9+9+8=35）。

接下来判断它能否被11整除。用我们学过的方法：奇位和与偶位和的差。对于四位数abcd，奇位是a和c，偶位是b和d。

在9998中，奇位数字是千位的9和十位的9，奇位和是9+9=18；偶位数字是百位的9和个位的8，偶位和是9+8=17。它们的差是18-17=1。1不是11的倍数，所以9998不能被