（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习重点题型通关练习第6讲 空间直线、平面的平行（解析版）.docxVIP

第6讲空间直线、平面的平行(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：利用线面平行的判定定理证明线面平行

类型二：直线与平面平行的性质定理的应用

类型三：由线面平行的性质判断线段比例或点的位置

类型四：由线面平行求线段长度

类型五：面面平行的判定定理

类型六：面面平行的性质定理的应用

类型七：线面平行、面面平行的探索性问题

类型八：求异面直线所成角

类型九：由异面直线所成角求参数

类型十：新定义题

类型一：利用线面平行的判定定理证明线面平行

典型例题

例题1．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形是梯形，，，，，点是棱上一点，且．证明：平面.

【答案】证明见解析.

【详解】连，连，如图，

梯形中，，且，则有，而，

因此，于是得，又平面，平面，

所以平面，.

例题2．如图，四边形为矩形，平面，，，，．求证：平面；

【答案】证明见解析

【详解】证明：如图，在ED上取点N，使DN＝2，连接NC、NF，

∵AFDN，AF＝DN，

∴四边形ADNF为平行四边形，

∴ADFN，AD＝FN，

又四边形ABCD为矩形，所以ADBC，AD＝BC，

∴FNBC，FN＝BC，

∴四边形BCNF为平行四边形，

∴BFNC，

又BF平面CDE，NC平面CDE，

∴BF平面CDE；

例题3．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别是和中点，求证：

(1)平面；

(2)平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

（1）证明：如图，连接，交于，连接，

四边形是平行四边形，

是的中点，

又是的中点，

，

又平面，平面，

平面.

（2）

证明：取的中点，连接，.

是的中点，

是的中位线，

，

底面是平行四边形，别是中点，

，

，

四边形是平行四边形，

，

又平面，平面，

平面.

同类题型演练

1．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．证明：EF∥平面AB1D1．

【答案】证明见解析

【详解】证明:连接BC1，如图所示

∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，

在四棱柱中,底面ABCD为平行四边形，∴AB∥DC∥D1C1且AB=DC=D1C1，

∴四边形ABC1D1为平行四边形，有BC1∥AD1，∴EF∥AD1，

∵EF?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1．

2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．求证：平面

【答案】证明见解析

【详解】证明：取的中点，连接、，

因为、都垂直于平面，则且，

因为、分别为、的中点，则且，

且，

所以四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面.

3．直四棱柱，底面是平行四边形，分别是棱的中点，求证：平面

【答案】证明见解析

【详解】取的中点，连接，

在中，分别为的中点，

所以且，底面是平行四边形，是棱的中点，

所以且，所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以平面平面，所以平面.

类型二：直线与平面平行的性质定理的应用

典型例题

例题1．如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：.

【答案】证明见解析.

【详解】在三棱柱中，因平面，平面，则平面，

又平面，平面平面，

所以.

例题2．如图，在几何体中，四边形为平行四边形，为的中点，平面平面

(1)证明:平面

(2)证明:

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析.

（1）

连接AC交BD于O,连接OG.

因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.

又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.

因为面,面,所以AF//平面BDG.

（2）

因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.

因为面,面,所以AB//平面.

因为面,面面=EF.

所以AB//EF.

例题3．如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

（1）

证明：因为四边形为平行四边形，则，

平面，平面，因此，平面.

（2）

证明：连接交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，平面.????

（3）

证明：平面，平面，平面平面，

.

同类题型演练

1．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形．设平面平面，证明：；

【答案】证明见解析.

【详解】因为四边形为正方形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，

∵平面，平面平面，

∴．

2．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．

(1)若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB；

(2)若平面AEC，求证：E是PD中点．

【答案】(