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《提分练习18数学思想方法在相交线与平行线中的应用》
典例剖析
例如图,若,判断与的位置关系,并说明理由.
解题秘方:欲得出与的位置关系,从已知条件中无法直接得出结论,需用构建基本图形法作辅助线将原图演变成“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形,再根据平行线的性质和判定进行说明.
解:.理由如下:
在的内部作射线,使,如图所示，
∴内错角相等,两直线平行).
∵,
∴.
∴内错角相等,两直线平行).
∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
分类训练
思想方法1基本图形（添加辅助线）法
1.已知,探究图中与,的数量关系,并说明理由.
思想方法2分离图形法
2.若平行直线与相交直线相交成如图所示的图形,则共得出同旁内角多少对?
思想方法3平移法
3.如图,在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶,它们的总宽度是3米,总高度是2米,图中所成角均为直角,现要在从到的台阶上铺上地毯,求地毯的总长度.
4.某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑如图所示的小路,余下部分绿化,小路的宽均为,则绿化的面积为多少?
思想方法4方程思想
5.如图,由点引出六条射线,,且平分平分.若,求的度数.
思想方法5转化思想
6.如图,.求证:.
思想方法6数形结合思想
7.如图,直线被所截,,.
求证:.
思想方法7分类讨论思想
8.如图,已知直线,直线交于点,交于点,是线段上的一个动点,当在线段上运动时,请你探究之间的关系.
参考答案
1.答案：见解析
解析：.理由如下:
如图,过点作.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
2.答案：见解析
解析：如图,将给出的图形分离为8个“三线八角的基本图形,由每个基本图形都有2对同旁内角,知共有16对同旁内角.
3.答案：见解析
解析：由平移的性质可知,地毯的总长度为5(米).
点拨：此题运用了平移法，这些台阶不均匀，无法具体计算每级台阶的宽度和高度,但若把所有台阶的宽平移至上,发现总和恰好与相等,若把所有台阶的高平移到上,发现总和恰好与相等.
4.答案：见解析
解析：如图,把小路平移到长方形地块的最上边和最左边,则余下部分是长方形.
∵,
∴长方形的面积为,即绿化的面积为.
5.答案：见解析
解析：设.
∵平分平分,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴.
∴,即.
点拨：有些复杂的求角度的问题用方程思想求解非常简单,注意方程思想的应用.
6.答案：见解析
解析：证明:如图,过点作.
∵，
∴.
∴.
又∵,
∴.
同理,.
又∵,
∴.
∴.
点拨：解该类问题需转化为比较简单、熟悉的几何问题,通过在“拐点”处作平行线,把一个大角分成两个小角,分别与已知角建立联系,这种转化思想在解题时经常用到.
7.答案：见解析
解析：证明:由对顶角相等,得.
∵,
∴.
∴
∴.
又∵,
∴,
即.
∴
点拨：平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定,而性质则是由“形”到“数”的说理，研究两条直线的垂直或平行的共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的数量关系.
8.答案：见解析
解析：当点在之间时,如图①,过点作,则.
∵.
∵.
∵.
当点与点重合时,,如图(2)所示.
∵.
∵.
当点与点重合时,,如图(3)所示.
∵.
∵.
综上所述,当点在线段上运动时,,之间的关系为.
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