第三节二阶常系数线性微分方程的解法 (2).pptVIP

第三节二阶常系数线性微分方程的解法1第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日

二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日

二阶常系数齐次线性方程解的性质1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理1(2)第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日

二、二阶常系数齐次线性方程的解法代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).(3)(2)第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日

故它们线性无关,因此(2)的通解为(3)情形1第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日

情形2需要求另一个特解第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日

情形3可以证明,是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的通解为第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日

小结特征根的情况通解的表达式实根实根复根第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为特征根为第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解特征方程为故通解为例3特征根为第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日

对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解.定理2那么方程(1)的通解为第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日

问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论f(x)的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解为定理2第12页，共34页，星期日，2025年，2月5日

则第13页，共34页，星期日，2025年，2月5日

情形1若r不是特征根,即情形2若r是特征方程的单根,即第14页，共34页，星期日，2025年，2月5日

情形3若r是特征方程的二重根,即第15页，共34页，星期日，2025年，2月5日

综上讨论设特解为其中第16页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得第17页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解为例5得第18页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得第19页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解对应齐次方程通解特征方程特征根例6注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。第20页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解例7对应齐次方程通解特征方程特征根第21页，共34页，星期日，2025年，2月5日

此时原方程的通解为第22页，共34页，星期日，2025年，2月5日

可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:第23页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解例8所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得第24页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解例9所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得第25页，共34页，星期日，2025年，2月5日

定理3(非齐次线性方程的叠加原理)和的特解,的一个特解,第26页，共34页，星期日，2025年，2月5日

例10解代入得第27页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解代入得原方程通解为例10第28页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解例11是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；二阶非齐次线性微分方程第29页，共34页，星期日，2025年，2月5日

第30页，共34页，星期日，2025年，2月5日

解例12求导，原方程改写为再求导，第31页，共34页，星期日，2025年，2月5日

对应齐次方程通解特征方程特征根代入得第32页，共34页，星期日，2025年，2月5日

初始条件:第33页，共34页，星期日，2025年，2月5日

练习：P394习题九第34页，共34页，星期日，2025年，2月5日