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求等差乘等比型数列的和的方法再研究

关键词：等差乘等比型数列的和；错位相减法；裂项相消法；两边求导法.

等差乘等比型数列是高中阶段常见的一类数列，求其和是高考常考的一个知识点，学生在求这一类数列的和极易出错，本文给出这一类数列的和的一般形式，有助于学生检验计算正确与否。同时本文又通过其它的方法再次对求这类数列的和进行研究，从而达到对此类型数列的进一步理解，同时可以培养学生的逆向思维，提升学生的数学核心素养.

一、错位相减去求和，待定、展开来简化

nn nn【引例1】：已知数列{c

n

n nn

=ab

(n?

nN*)，其中数列{a}是等差数列，

n

公差为d，数列{bn}是q11的等比数列，求数列{cn}的前n项和Tn.

【解析】：采用错位相减法来处理，基本步骤为：乘公比?错位?相减?化简.

由题意：Tn=a1b1+a2b2+a3b3+L+an-1bn-1+anbn①；

qTn=

a1b1q+a2b2q+a3b3q+L

+an-1bn-1q+anbnq，

即qTn=

a1b2+a2b3+a3b4+L

+an-1bn+anbnq②；

①—②得：(1-q)Tn=a1b1+(a2-a1)b2+(a3-a2)b3+(a4-a3)b4+L+(an-an-1)bn-anbnq，

即(1-q)Tn=a1b1+d(b2+b3+b4+L+bn)-anbnq，

db(1-qn-1)

即(1-q)T=ab+ 2

-abqn(q11)，

n 11

1-q n1

化简整理得：T

é-db1

b1(a1-a1q+dq)ùn

b1(a1-a1q+dq)

n=ê n-ê?1-q

(1-q)2

úq+ú?

，

(1-q)2

令a=-db1,b=b1(a1-a1q+dq)(q11)，则T

=(an-b)qn+b.

1-q

(1-q)2 n

则此时可以发现任何一个等差乘等比型数列的前n项和都可以化成(an-b)qn+b（q为

等比数列的公比）这样形式，故可以在草稿本上利用待定系数法，直接求出等差乘等比型数列前n项和.具体计算如下：

当n=1时，T1=(a-b)q+b，且T1=a1b1，所以(a-b)q+b=a1b1①；

当n=2时，T=(2a-b)q2+b，且T=ab+ab，所以(2a-b)q2+b=ab+ab②；

2 2 11 22 11 22

即可建立关于a,b的二元一次方程组求解.

接下来请读者看例1如何利用待定系数法简化错位相减法的计算过程，过程如下：

【例1】：已知数列{a}的前n项和为T(n?N*),且a

n+1

?1?=(2n-1)× ，求

?1?

2n n n

2

?÷ n

è?

【简算结果】：令Tn=(an-

【简算结果】：令Tn=(an-b)2 +b，

è?

当n=1时，T=(a-b)+b，且T=ab=1，所以(a-b)+b=1①；

1 2 1 11 4 2 4

当n=2时，T=(2a-b)+b，且T=7，所以(2a-b)+b=7②；

2 4 2 8 4 8

5 ? 5??1?n 5

由①②得：a=-2,b=

，所以Tn=?-2n-

÷?÷+.

2 è 2?è2? 2

通过上面的待定系数法即可求出此数列的前n项和的化简结果，那么具体的解题步骤该如何写呢？请看下面的具体解析过程：

【解析】：由题意得：

?1?2

?1?3

?1?4

?1?n

?1?n+1

Tn=1′?2÷+3′?2÷+5′?2÷+L+(2n-3)′?2÷+(2n-1)′?2÷①；

è? è? è? è? è?

1 ?1?3 ?1?4 ?1?5

?1?n+1

?1?n+2

2Tn= 1′?2÷+3′?2÷+5′?2÷+L+(2n-3)′?2÷+(2n-1)′?2÷②；

è? è? è? è? è?

?1?2

é?1?3

?1?4

?1?n+1ù

?1?n+2

①—②得：2Tn=1′?2÷+2ê?2÷+?2÷+L

+?2÷

ú-(2n-1)′?2÷，

è? ê?è