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妙不可言的高考压轴题解法分析

【摘要】本文通过一道高考题不同解法的分析研究，透析出高中学生在学习阶段所应掌握的数学方法技巧，以及如何打灵活应用它们来解决多变的问题，并关于这道题背后的学生应该怎样学好数学，阐述了我的看法。

【关键词】江苏卷；高考数学；压轴题；思想方法

一，前言

第一次见这道题的时间是2013年，当时我正在读大二，在图书馆同学神秘兮兮的让我看这道题，然后此题就占据了我一整个下午的时间，因为那时没有各种搜题软

件，同学也不清楚从哪里搞到的题目，也没有答案，做完后就一直静静存放在我的笔记本中，后来一次偶然的机会，我在整理往年高考卷子的时候发现了它！它静静的躺在试卷的最后一题位置，当时的心情就如同查高考成绩的前一秒一样，我按耐住内心的狂喜，迅速翻到答案部分，很快内心的狂喜落下，标答跟我的证明方法不一样，并且在第三问，我竟看不懂标答在说什么？之后的若干年我对此题的解法不求甚渴，问了很多的同学老师，在这里和大家分享一下我对此题的理解，不当之处，请多指正。

二，问题提出

22.（本小题满分14分）

设a0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1(0

a1a)，从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴，交直线l于点直线Pn+1,再从点

Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1；Qn

1(n=1，2，2，……)的横坐标构成数列{an}.1，试求an+1与an的关系，并求an

1

2，当a=1,a1≤1时，证明∑n

(ak-ak+1)ak+2 ;

2

k=13,当a=

k=1

k=1 32

3(ak-ak+1)ak+21

3

本题从直线和曲线的交点入手，既考察了学生的数学运算，又对数列递推公式的固定模型展开考察，并且在第二问和第三问，学生面临几乎同样条件下，同一种放缩方法却并不通用的情况；第一问足够筛选出A+学生和A+以下的学生，第二问则能筛选出A+学生和S级学生，第三问与第二问相比则又能筛选S级和SS级，不可谓不是一道优秀的高考压轴题，将高考对人才的分层作用体现的淋漓尽致。

这三问我总计使用了6种不同的思路来从不同的角度分析它背后的逻辑层次，下面我们先看第一小问：

三，解法分析

解：

（I）由题意知：Qn(an，an2)

{y=a

{y=a

2

n

可得Pn 1a2，a2

{+1(an n)

{

y=x2

x=1a2

an

41 2 n

4

a可得Qn+1(aan

a

，a2)

a所以an+1=1an2

a

可以得到如下等式均成立：

an=1?a2

a n-1

an-1=1?a2

a n-2

an-2=1?a2

a n-3

……

a2=1?a2

a 1

对上述这n-1个等式做如下处理：

将最后一层的等式带入上一层，不断地朝上一层带入，直至带到第一个等式。这种方法称之为叠代法，通常适用于形如an=an-12+c这种形式。过程如下：

an=

11 2

a2)a(a? n-

a2)

11+2

=(a)

11+21

22

an-2

a

2 22

=(a) (a?an-3)

11+2+22

=(a)

=?

23

an-2

a

=()11+2+?+2n-

=()

a

2n+1

1

=()12n-1-

=()

a

a12n-1

2n-1

1

=a(a)

∴

，

a12n-1

an=a(a) .

法二：

当我们得到an=1?a2

，其实可以想到常用求解数列通项的方法，也即两边同

a n-1

取对数来达到降次的目的，降次过后上式就会变成一个典型“类一次式数列”，然后只需要使用常用数列解题模型“不动点法”即可求解，解法如下：

因为an=1?a2

a n-1

an-1两边同取对数lg(an)=lg(1?a

a

n-1

化简得lgan=2lgan-1-lga……①

令lgan=lgan-1=x

①?x=2x-lga

x=lga

lgan-lga=2(lgan-1-lga)

所以{lgan-lga}为首项是lga1-lga公比是2的等比数列.

lgan-lga=（lga1-lga）2n-1

lga

=2n-1·a1

n lga+lga

a2n-