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z变换期末考试题及答案

Z变换期末考试题

一、选择题（每题3分，共15分）

1.序列$x[n]=a^nu[n]$的Z变换$X(z)$及其收敛域为（）

A.$\frac{1}{1az^{-1}}$，$|z||a|$

B.$\frac{1}{1az^{-1}}$，$|z||a|$

C.$\frac{1}{1+az^{-1}}$，$|z||a|$

D.$\frac{1}{1+az^{-1}}$，$|z||a|$

2.已知$X(z)=\frac{z}{z2}$，$|z|2$，则其对应的时域序列$x[n]$为（）

A.$2^nu[n]$

B.$-2^nu[-n1]$

C.$2^{-n}u[n]$

D.$-2^{-n}u[-n1]$

3.序列$x[n]=\delta[nn_0]$的Z变换为（）

A.$z^{n_0}$

B.$z^{-n_0}$

C.$1$

D.$\delta(zn_0)$

4.若$X(z)$是$x[n]$的Z变换，那么$x[nn_0]$的Z变换为（）

A.$z^{n_0}X(z)$

B.$z^{-n_0}X(z)$

C.$X(zn_0)$

D.$X(z+n_0)$

5.已知$X(z)=\frac{1}{(z1)(z2)}$，$|z|2$，则$x[n]$为（）

A.$(2^n1)u[n]$

B.$(2^{n+1}-1)u[n]$

C.$(2^n1)u[-n1]$

D.$(2^{n+1}-1)u[-n1]$

二、填空题（每题3分，共15分）

1.序列$x[n]=u[n]-u[n3]$的Z变换$X(z)=$______，收敛域为______。

2.已知$X(z)=\frac{z}{z0.5}$，$|z|0.5$，则$x[n]=$______。

3.若$X(z)$的收敛域为$|z|1$，则对应的时域序列$x[n]$是______序列。

4.序列$x[n]=na^nu[n]$的Z变换$X(z)=$______。

5.已知$X(z)=\frac{z^2}{(z1)(z3)}$，$|z|3$，则$x[n]$的初值$x[0]=$______。

三、简答题（每题10分，共30分）

1.简述Z变换的定义，并说明双边Z变换和单边Z变换的区别。

2.说明Z变换收敛域的重要性，并举例说明不同收敛域对应不同的时域序列。

3.简述利用部分分式展开法求Z逆变换的步骤。

四、计算题（每题20分，共40分）

1.求序列$x[n]=\begin{cases}

2^n,0\leqn\leq4\\

0,\text{其他}

\end{cases}$的Z变换$X(z)$及其收敛域。

2.已知$X(z)=\frac{z^2+3z}{(z1)(z2)(z3)}$，$|z|3$，求其对应的时域序列$x[n]$。

答案

一、选择题

1.答案：A

解析：根据Z变换的定义$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$，对于$x[n]=a^nu[n]$，$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(az^{-1})^n$，这是一个等比级数，当$|az^{-1}|1$即$|z||a|$时，$X(z)=\frac{1}{1az^{-1}}$。

2.答案：A

解析：$X(z)=\frac{z}{z2}=\frac{1}{12z^{-1}}$，$|z|2$，根据常用Z变换对，$x[n]=2^nu[n]$。

3.答案：B

解析：$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[nn_0]z^{-n}=z^{-n_0}$。

4.答案：B

解析：根据Z变换的时移性质，$Z\{x[nn_0]\}=z^{-n_0}X(z)$。

5.答案：A

解析：将$X(z)=\frac{1}{(z1)(z2)}=\frac{1}{z2}-\frac{1}{z1}$，$|z|2$，$Z^{-1}\{\frac{1}{z2}\}=2^{n1}u[n1]$，$Z^{-1}\{\frac{1}{z1}\}=u[n1]$，所以$x[n]=(2^n1)u[n]$。

二、填空题

1.答案：$1+z^{-1}+z^{-2}$，$|z|0$

解析：$x