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2025年福建（专升本）高等数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^36x+9，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,2)

B.(2,+∞)

C.(∞,3)

D.(3,+∞)

答案：D

解析：求导f(x)=3x^26，令f(x)0，得x√2或x√2。又因为f(2)=5，f(3)=18，所以f(x)在(2,+∞)单调递增。

2.设函数y=e^x2x+1，求函数的极值点。

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.无极值点

答案：B

解析：求导y=e^x2，令y=0，得x=ln2。再求二阶导y=e^x，因为y0，所以x=ln2是函数的极小值点。

3.定积分∫(0toπ)sin(x)dx的值是（）

A.2

B.2

C.0

D.1

答案：C

解析：因为sin(x)在[0,π]上关于x=π/2对称，所以∫(0toπ)sin(x)dx=0。

4.已知函数f(x)=x^2+k在[0,2]上单调递增，则k的取值范围是（）

A.k≤4

B.k≥4

C.k≤4

D.k≥4

答案：A

解析：f(x)=2x，f(x)在[0,2]上单调递增，则f(x)≥0。所以k≤4。

5.线段AB的两个端点坐标分别为A(1,2)和B(3,6)，求线段AB的中点坐标。

A.(2,4)

B.(2,5)

C.(1.5,3.5)

D.(1.5,4)

答案：A

解析：中点坐标公式为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，所以中点坐标为((1+3)/2,(2+6)/2)=(2,4)。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^33x^2+4x+1在x=1处的切线方程是_________。

答案：y3=2(x1)

解析：f(x)=3x^26x+4，f(1)=3，f(1)=2。切线方程为yf(1)=f(1)(x1)，即y3=2(x1)。

7.定积分∫(0to2π)cos(x)dx的值是_________。

答案：0

解析：因为cos(x)在[0,2π]上关于x=π对称，所以∫(0to2π)cos(x)dx=0。

8.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式值为_________。

答案：2

解析：行列式值为adbc=1423=2。

9.函数f(x)=x^22x+1在区间[1,3]上的最大值是_________，最小值是_________。

答案：最大值4，最小值0

解析：f(x)=2x2，f(1)=4，f(3)=4，f(1)=0。f(x)在[1,3]上的最大值为4，最小值为0。

10.设函数y=ln(x+1)，求x=2时的y值和微分dy。

答案：y=ln3，dy=1/(2+1)dx=1/3dx

解析：y=ln(x+1)，y(2)=ln3。dy=dy/dxdx=1/(x+1)dx，代入x=2，得dy=1/3dx。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）已知函数f(x)=x^33x+2，求f(x)的单调区间。

解答：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增。所以f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(1,+∞)，单调递减区间为(1,1)。

12.（本题10分）计算定积分∫(0toπ/2)sin^2(x)dx。

解答：利用三角恒等式sin^2(x)=(1cos(2x))/2，得∫(0toπ/2)sin^2(x)dx=∫(0toπ/2)(1cos(2x))/2dx=π/4(1/2)∫(0toπ/2)cos(2x)dx=π/4(1/4)sin(2x)|(0toπ/2)=π/4(1/4)(00)=π/4。

13.（本题15分）求函数f(x)=x^2e^x在x=0处的泰勒展开式。

解答：f(x)=x^2e^x，f(0)=0，f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(0)=0，f(x)