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2025年北京市高等数学(专升本)考试练习题及参考答案
一、选择题(每题5分,共25分)
1.设函数f(x)=x^33x+1,下列结论正确的是()
A.f(x)在x=1处取得极大值
B.f(x)在x=1处取得极小值
C.f(x)在x=1处既不取得极大值也不取得极小值
D.f(x)在x=1处不可导
答案:B
解析:f(x)=3x^23,令f(x)=0得x=1。f(x)=6x,f(1)=60,故f(x)在x=1处取得极小值。
2.设函数y=ln(x^2+1),求y(0)的值是()
A.0
B.1
C.2
D.1/2
答案:B
解析:y=(2x)/(x^2+1),代入x=0得y(0)=0/1=0。此处答案应为A。
3.设函数f(x)=e^xcos(x),下列结论正确的是()
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)既不是奇函数也不是偶函数
D.无法判断
答案:C
解析:f(x)=e^xcos(x)=e^xcos(x)≠f(x)且f(x)≠f(x),故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
4.设定积分∫(0,π)sin(x)dx的值是()
A.0
B.1
C.2
D.π
答案:C
解析:∫(0,π)sin(x)dx=cos(x)|(0,π)=cos(π)(cos(0))=1+1=2。
5.设矩阵A=[[1,2],[3,4]],下列结论正确的是()
A.A是可逆矩阵
B.A是不可逆矩阵
C.A的行列式为0
D.A的行列式不为0
答案:A
解析:行列式|A|=1423=46=2≠0,故A是可逆矩阵。
二、填空题(每题5分,共25分)
1.函数f(x)=x^22x+1在x=1处的极值是______。
答案:0
解析:f(x)=2x2,令f(x)=0得x=1。f(x)=2,f(1)=20,故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=0。
2.定积分∫(0,1)x^3dx的值是______。
答案:1/4
解析:∫(0,1)x^3dx=(1/4)x^4|(0,1)=(1/4)0=1/4。
3.设函数f(x)=2x+3,求f(x)+f(x)的值是______。
答案:2
解析:f(x)=2,f(x)=0,故f(x)+f(x)=2+0=2。
4.设矩阵A=[[1,2],[3,4]],矩阵A的逆矩阵是______。
答案:[[4,2],[3,1]]
解析:A的行列式|A|=2,A的逆矩阵A^1=(1/|A|)[[4,2],[3,1]]=[[4,2],[3,1]]。
5.设函数f(x)=x^2+2x+1,求f(x)在x=1处的切线方程是______。
答案:y=2x+1
解析:f(x)=2x+2,f(1)=0,f(1)=0。切线方程为yf(1)=f(1)(x(1)),即y=2x+1。
三、解答题(共50分)
1.(10分)已知函数f(x)=x^33x+1,求f(x)在x=1处的极值,并判断其类型。
解:f(x)=3x^23,令f(x)=0得x=1。f(x)=6x,f(1)=60,故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=0。
2.(15分)设函数f(x)=e^xsin(x),求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。
解:f(0)=0,f(x)=e^x(sin(x)+cos(x)),f(0)=1。f(x)=e^x(2sin(x)+cos(x)),f(0)=1。f(x)=e^x(3sin(x)+4cos(x)),f(0)=4。故f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项为f(0)+f(0)x+f(0)x^2/2+f(0)x^3/6=0+x+x^2/2+4x^3/6。
3.(15分)计算定积分∫(0,π)(x^2+sin(x))dx。
解:∫(0,π)(x^2+sin(x))dx=∫(0,π)x^2dx+∫(0,π)sin(x)dx=(1/3)x^3|(0,π)+(cos(x))|(0,π
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