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2025年福建（专升本）高数一考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^x2x，则f(x)在区间（0，+∞）内是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：A

解析：f(x)=e^x2，令f(x)0，解得xln2，因此在区间（0，+∞）内，f(x)单调递增。

2.设函数y=ln(x1)，则函数y的垂直渐近线方程是（）

A.x=1

B.x=2

C.y=0

D.y=1

答案：A

解析：因为当x趋近于1时，ln(x1)趋近于负无穷，所以函数y的垂直渐近线方程是x=1。

3.设函数y=x^36x^2+9x1，求函数的极值点。

A.x=1，x=3

B.x=0，x=3

C.x=1，x=2

D.x=0，x=1

答案：A

解析：y=3x^212x+9，令y=0，解得x=1，x=3。通过求导数的符号变化，可知x=1为极大值点，x=3为极小值点。

4.定积分∫_0^1(x^2+2x+1)dx的值是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：∫_0^1(x^2+2x+1)dx=(1/3)x^3+x^2+x|_0^1=(1/3)+1+1=5/3，所以选B。

5.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在区间[0，2π]上的最大值。

A.1

B.√2

C.2

D.0

答案：B

解析：f(x)=cos(x)sin(x)，令f(x)=0，解得x=π/4，x=5π/4。在区间[0，2π]上，f(x)在x=π/4时取得最大值，即f(π/4)=sin(π/4)+cos(π/4)=√2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^33x在区间（∞，+∞）内是______的。

答案：单调递增

解析：f(x)=3x^23，令f(x)0，解得x1或x1，因此在区间（∞，+∞）内，f(x)单调递增。

2.定积分∫_0^πsin(x)dx的值是______。

答案：2

解析：∫_0^πsin(x)dx=cos(x)|_0^π=cos(π)(cos(0))=2。

3.函数y=x^2+2x+3的极值点是______。

答案：x=1

解析：y=2x+2，令y=0，解得x=1。通过求导数的符号变化，可知x=1为极小值点。

4.设函数f(x)=e^x，求f(x)在x=0处的切线方程是______。

答案：y=x+1

解析：f(x)=e^x，f(0)=1，切线斜率为f(0)=1，切线方程为y1=1(x0)，即y=x+1。

5.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的一阶导数是______。

答案：f(x)=(2x+x^2)e^x

解析：利用乘法法则，f(x)=(x^2)e^x+x^2(e^x)=2xe^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x。

三、解答题（共50分）

1.（本题10分）求函数f(x)=x^33x^2+4在区间[0，4]上的最大值和最小值。

答案：最大值f(4)=4，最小值f(2)=0。

解析：f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0，x=2。通过求导数的符号变化，可知x=0为极大值点，x=2为极小值点。计算f(0)=4，f(2)=0，f(4)=4，所以最大值为f(4)=4，最小值为f(2)=0。

2.（本题10分）计算定积分∫_0^π/2(1+sin(x))dx。

答案：π+1。

解析：∫_0^π/2(1+sin(x))dx=∫_0^π/21dx+∫_0^π/2sin(x)dx=x|_0^π/2+(cos(x))|_0^π/2=π/2(1)+1=π+1。

3.（本题15分）已知函数f(x)=e^x2x，求f(x)的凹凸区间和拐点。

答案：f(x)的凹区间为（∞，ln2），凸区间为（ln2，+∞），拐点为（ln2，e^ln22ln2）。

解析：f(x)=e^x2，令f(x)=0，解得x=ln2。当xln2时，f(x)0，f(x)凹；当xln2时，f(x)0，f(x)