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高中数学数列专题教学课件

引言

数列作为高中数学的重要组成部分，不仅是进一步学习高等数学的基础，也是培养学生逻辑推理能力、抽象概括能力和数学建模思想的重要载体。它承接了函数的概念，并为后续学习不等式、极限等内容提供了具体实例和方法借鉴。本专题旨在系统梳理数列的核心知识，引导学生理解数列的本质，掌握基本题型的解法，并能运用数列知识解决实际问题。教学过程中，应注重概念的形成过程，强调数学思想方法的渗透，激发学生的探究欲望，提升其数学素养。

一、数列的基本概念与表示

1.1从实例到概念——数列的定义

我们的教学应从具体实例入手。例如，引导学生观察以下几组数：

*某次考试中，一个小组学生的成绩按学号排列：85，92，78，90，88...

*将正整数1，2，3，4，5...的倒数依次排列：1，1/2，1/3，1/4，1/5...

*细胞分裂过程中，一个细胞每次分裂为2个，各次分裂后细胞的个数：2，4，8，16，32...

通过对这些例子的共同特征（有序性、确定性）的分析，自然引出数列的定义：按一定次序排列的一列数称为数列。

强调“次序”的重要性，可以通过对比两个元素相同但次序不同的数列（如1，2，3与3，2，1）来加深理解。

1.2数列的项与通项公式

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，...，第n项，...。

数列的一般形式可以写成：a?，a?，a?，...，a?，...，简记为{a?}。其中，a?是数列的第n项。

若数列{a?}的第n项a?与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

*要点解析：

*通项公式是数列的核心表示方法，它体现了数列的本质规律。

*并非所有数列都有通项公式。

*一个数列的通项公式也不一定唯一。例如，数列1，-1，1，-1，...的通项公式可以是a?=(-1)^(n+1)，也可以是分段形式。

*已知通项公式，可以求出数列的任意一项；反之，若已知数列的前几项，有时可以通过观察、归纳、猜想出其通项公式（这体现了从特殊到一般的思维方法）。

1.3数列的递推公式

除了通项公式外，数列还可以通过递推关系来定义。即给出数列的首项（或前几项），以及从第k项起，每一项与它的前一项（或前几项）间的关系。这种表示数列的方法叫做递推公式法。

*举例：

*斐波那契数列：a?=1，a?=1，a?=a???+a???(n≥3)。

*等差数列的递推形式：a?=a(常数)，a?=a???+d(n≥2，d为常数)。

*教学建议：通过具体例子，让学生体会递推公式是描述数列生成规律的另一种重要方式，理解递推公式与通项公式的区别与联系。能根据递推公式写出数列的前几项。

1.4数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N?（或它的有限子集{1，2，...，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。而数列的通项公式就是相应函数的解析式。

*教学价值：

*揭示数列的本质是特殊的函数，有助于学生运用函数的思想方法（如单调性、最值）来研究数列的性质。

*例如，判断数列的增减性，可以通过比较a???与a?的大小，或研究其对应的函数的导数（如果函数可导）。

二、等差数列与等比数列——两类基本数列

2.1等差数列

2.1.1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

*数学符号表示：a???-a?=d(n∈N?，d为常数)。

2.1.2通项公式：

*推导过程：从定义出发，a?=a?+d，a?=a?+d=a?+2d，...，通过不完全归纳法引导学生猜想，再用数学归纳法（或叠加法）证明。

*公式：a?=a?+(n-1)d。

*推广：a?=a?+(n-m)d(n,m∈N?)。

2.1.3等差中项：

*如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

*性质：A=(a+b)/2。

2.1.4前n项和公式：

*推导方法：“倒序相加法”是核心，引导学生观察S?=a?+a?+...+a?与S?=a?+a???+...+a?对应项之和的特点。

*公式：S?=n(a?+a?)/2或S?=na?+n(n-1)d/2。

*公式的选择：已知首项、末项和项数，用前者；已知首项、公差和项数，用后者。

2.1.5等差数列的主要性质