九年级函数应用题专项训练卷.docxVIP

九年级函数应用题专项训练卷

函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型，在解决实际问题中扮演着至关重要的角色。九年级阶段，我们主要学习了一次函数与二次函数，它们在行程、利润、几何、最值等问题中有着广泛的应用。本专项训练旨在帮助同学们熟练掌握从实际问题中抽象出函数关系，并运用函数知识解决问题的能力。

一、解题策略与方法指导

解决函数应用题，关键在于将文字信息转化为数学语言，建立合适的函数模型。以下是解决此类问题的一般步骤与要点：

1.审清题意，明确数量关系：仔细阅读题目，理解问题的背景和所求。圈点出关键信息，如已知条件、未知量、涉及的基本数量关系（如路程=速度×时间，利润=售价-成本等）。特别注意区分常量与变量。

2.抽象概括，建立函数模型：根据题意，确定自变量与因变量。分析变量之间的关系，选择合适的函数类型（一次函数、二次函数等）。若关系不明显，可尝试列表、画图等方法辅助分析。将文字描述转化为函数表达式，即建立函数模型。注意自变量的取值范围，它不仅要使函数表达式有意义，更要符合实际问题的情境。

3.求解验证，回归实际问题：运用函数的性质（如单调性、最值、图像与坐标轴交点等）求解数学问题。得到结果后，务必进行检验，看是否符合实际意义，是否是问题的合理解。最后，用清晰、准确的语言回答实际问题。

二、实战演练

（一）一次函数应用

题目1：行程与费用问题

甲、乙两地相距若干千米，一辆货车从甲地匀速驶向乙地，途中因装载货物停留了一段时间，然后按原速继续行驶到达乙地。货车行驶的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示（假设停留前后速度不变）。

（1）求货车停留前的行驶速度；

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式；

（3）若货车按原速（停留前的速度）直接从甲地驶往乙地，可比实际情况提前多少小时到达？

分析与提示：

*观察图像是解决本题的关键。图像通常包含起点、拐点、终点的信息。

*（1）停留前的行驶速度可通过初始阶段的路程与时间计算。

*（2）线段BC表示停留后的行驶阶段，需要确定其起点坐标和斜率（即速度）。

*（3）“原速直接行驶”意味着没有停留时间，总路程除以原速得到理论时间，与实际总时间比较即可。

（二）二次函数应用

题目2：最大利润问题

某商店经营一种小商品，进价为每件2元。据市场调查，销售单价是3元时，平均每天销售量是20件，而销售单价每上涨1元，平均每天就少销售4件。设销售单价为x元（x≥3且为整数），每天的销售利润为y元。

（1）直接写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？

（3）如果商店想要每天获得的利润不低于48元，那么销售单价应控制在什么范围内？

分析与提示：

*利润问题的基本公式：总利润=（售价-进价）×销售量。

*（1）售价为x元，进价为2元，则每件利润为（x-2）元。销售量与单价x有关，“每上涨1元，少销售4件”，需表示出销售量。注意，这里的上涨是相对于3元而言的。

*（2）得到的函数是二次函数，根据二次函数的顶点坐标求最大值。注意x为整数。

*（3）“利润不低于48元”即y≥48，解不等式，并结合x为整数及实际意义确定范围。

（三）二次函数应用

题目3：几何图形与最值

如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），设矩形菜园垂直于墙的一边长为x米，菜园的面积为S平方米。

（1）求S与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

分析与提示：

*这是典型的利用二次函数求几何图形面积最值的问题。

*（1）矩形有两个垂直于墙的边和一个平行于墙的边。篱笆长20米是矩形三条边的长度之和。用x表示出平行于墙的边长，再根据矩形面积公式即可写出S与x的函数关系。

*（2）根据二次函数的性质求最大值。注意x的取值范围，要保证边长为正数。

（四）综合应用

题目4：动态几何与函数

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0t4）。

（1）用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度；

（2）设△PCQ的面积为Scm2，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）在P、Q运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。

分析与提示：

*这是一道动态几何与函数、最值结合的题目，需要用运动时间t表示相关线段长度。

*（1）根据速度和时间的关系，分别表示出AP和CQ，进而得到PC。

*（2）