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二元一次方程组应用题训练汇编

二元一次方程组是解决含有两个未知量问题的有力工具，其应用广泛，贯穿于日常生活、生产实践乃至科学研究的多个领域。掌握运用二元一次方程组解决实际问题的能力，不仅能够深化对数学模型思想的理解，更能提升分析问题和解决问题的核心素养。本汇编旨在通过系统的方法梳理与典型例题解析，帮助学习者熟练掌握这一重要技能。

一、解应用题的通用步骤与核心思路

解二元一次方程组应用题，关键在于将实际问题转化为数学模型。以下步骤是解决此类问题的通用指引：

1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中涉及的已知量、未知量以及它们之间的相互关系。这是最基础也是最重要的一步，务必逐字逐句，圈点关键信息，避免遗漏。

2.找等量关系：从题目中找出能够表示全部含义的两个（或两个以上）等量关系。这是列方程组的依据。等量关系通常可以通过诸如“等于”、“是”、“比……多/少”、“共”、“完成”、“追上”、“相遇”等关键词语来体现，有时也隐藏在具体的情境描述中。

3.设未知数：选择两个直接或间接的未知量，用字母（通常是x、y）表示出来。设元时应考虑如何设才能使所列方程更简洁易懂。可以直接设所求量为未知数，也可以设与所求量相关的其他量为未知数（间接设元）。

4.列方程组：根据找出的两个等量关系，分别列出两个方程，组成二元一次方程组。

5.解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解所列出的方程组，求出未知数的值。

6.检验并作答：将求得的未知数的值代入原方程组中检验，确保解的正确性；同时，还要检验所求结果是否符合实际问题的意义（如人数不能为负数，时间不能为负等）。最后，根据检验结果，用简洁明了的语言写出答案。

二、典型题型与例题精析

（一）行程问题

行程问题主要涉及路程、速度和时间三个量，基本关系为：路程=速度×时间。常见的有相遇问题、追及问题等。

例题1：

甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知A、B两地相距若干千米，甲的速度是每小时行若干千米，乙的速度是每小时行若干千米。两人相遇时，甲比乙多行了若干千米。求A、B两地的距离以及相遇时甲、乙各行了多少路程？

分析与解答：

（*此处为了避免具体数字，我们用文字描述关键量。实际解题时，需将具体数值代入。*）

审题：已知甲、乙的速度，相遇时甲比乙多走的路程。未知量为A、B两地距离以及相遇时甲、乙各自行的路程。但直接设两地距离和甲行的路程可能会使方程复杂，我们可以设相遇时间为x小时，A、B两地距离为y千米。或者，更直接的，设相遇时甲行了m千米，乙行了n千米。

找等量关系：

1.甲行的路程+乙行的路程=A、B两地距离。（相遇问题核心等量关系）

2.甲行的路程-乙行的路程=相遇时甲比乙多行的路程。

同时，根据路程=速度×时间，若设了时间x，甲速v甲，乙速v乙，则m=v甲*x，n=v乙*x。

（假设题目给出具体数据如下：甲速为5km/h，乙速为3km/h，相遇时甲比乙多行了8km。则可按以下步骤解答）

设元：设甲、乙两人出发后经过x小时相遇，相遇时甲行了y千米，则乙行了(y-8)千米。

列方程组：

根据路程=速度×时间：

y=5x...(1)（甲行的路程）

y-8=3x...(2)（乙行的路程）

解方程组：

将(1)代入(2)：5x-8=3x

移项：5x-3x=8

2x=8

x=4

将x=4代入(1)：y=5×4=20

则乙行的路程为：y-8=20-8=12

A、B两地距离为：20+12=32（千米）

检验：甲4小时行20km，乙4小时行12km，20-12=8km，符合题意。两地距离20+12=32km。

答：A、B两地的距离为32千米，相遇时甲行了20千米，乙行了12千米。

（二）工程问题

工程问题主要涉及工作总量、工作效率和工作时间三个量，基本关系为：工作总量=工作效率×工作时间。通常将工作总量看作单位“1”。

例题2：

一项工程，甲单独做需要若干天完成，乙单独做需要若干天完成。现在甲先单独做若干天后，余下的工程由乙单独完成，前后共用了若干天。求甲、乙两人各做了多少天？

分析与解答：

（*同样，我们先进行方法分析，再代入假设数据演示。*）

审题：已知甲、乙单独完成工程的时间（可据此得到工作效率），以及甲先做、乙后做的总天数。未知量是甲、乙各做的天数。

找等量关系：

1.甲工作的天数+乙工作的天数=总天数。

2.甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量（单位“1”）。

（假设题目给出具体数据如下：甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成。甲先做若干天后，乙接着做，共用11天完成。求