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中考数学函数动点题型专项训练

同学们，大家好！在中考数学的试卷中，函数动点问题一直是区分度较高的题型，它不仅考察我们对函数基础知识的掌握，更考验我们的动态思维能力、数形结合能力以及综合运用数学思想方法的能力。这类题目往往情景新颖，综合性强，是不少同学感到头疼的难点。今天，我们就专门针对中考数学函数动点题型进行一次深入的探讨和训练，希望能帮助同学们理清思路，掌握方法，从容应对。

一、函数动点问题的核心素养与解题基础

函数动点问题，顾名思义，就是在函数图像或几何图形中，存在一个或多个可以运动的点，这些点的运动导致图形的形状、位置或某些数量关系发生变化。解决这类问题，我们需要具备以下核心素养和基础知识：

（一）核心数学思想方法

1.动态思维能力：能够想象点的运动过程，预判图形的变化趋势。

2.数形结合思想：这是解决函数动点问题的“灵魂”。将函数的代数表达式与几何图形的直观形象紧密结合，从图像中获取信息，用代数方法解决几何问题，反之亦然。

3.分类讨论思想：由于动点的位置不同，可能导致图形的性质、数量关系发生变化，因此需要对动点的不同位置或不同情况进行分类讨论，确保不重不漏。

4.方程与函数思想：用函数关系式表示动点的坐标或相关线段的长度，用方程表示图形中的等量关系，从而解决最值、存在性等问题。

（二）必备基础知识储备

1.函数基础知识：

*一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的定义、解析式、图像和性质（开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性等）。

*熟练掌握用待定系数法求函数解析式。

2.几何图形性质：

*三角形（特别是直角三角形、等腰三角形、等边三角形）的性质与判定。

*四边形（特别是平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质与判定。

*全等三角形、相似三角形的判定与性质。

*圆的基本性质（如果中考考纲包含）。

*勾股定理、图形的面积公式、周长公式等。

3.坐标与图形：

*平面直角坐标系中点的坐标特征。

*两点间距离公式（或用勾股定理推导）。

*点到直线的距离（可结合面积法）。

*用坐标表示线段长度、图形面积等。

二、函数动点问题的常见类型与解题策略

中考中的函数动点问题千变万化，但万变不离其宗。我们可以根据动点的运动轨迹、研究的问题类型等进行归纳。

（一）动点在函数图像上运动

这类问题中，动点通常在给定的一次函数、反比例函数或二次函数图像上运动。

常见设问方向：

1.求动点坐标满足的条件（如构成特殊三角形、四边形）。

2.探究图形面积（或周长）与动点坐标（或运动时间）的函数关系，并求最值。

3.探究动点运动过程中，某些图形（如三角形、四边形）的形状变化（如是否为等腰三角形、直角三角形、平行四边形等）。

解题策略：

1.设元表示：设出动点的坐标（通常用一个参数表示，如在二次函数上设为(t,at2+bt+c)）。

2.数形结合：画出函数图像和动点可能的位置，直观分析。

3.代数表达：用动点坐标表示出相关线段的长度、图形的面积等。例如，若动点P(x,y)，A(x?,y?)，则线段PA的长度可表示为√[(x-x?)2+(y-y?)2]（或在坐标轴上时简化为|x-x?|或|y-y?|）。面积则可能通过割补法、底乘高的一半等方法，用含x（或t）的代数式表示。

4.建立模型：根据题目要求，建立方程（等式关系）或函数关系式（变化关系）。

5.求解验证：解方程或利用函数性质求出结果，并检验其合理性（如是否在动点运动范围内）。

示例简析：

例如，已知二次函数图像，点P是其对称轴上的一个动点，连接PA、PB（A、B为图像上的定点），求PA+PB的最小值，或△PAB面积的最大值。

*思路：设出P点坐标（利用对称轴，其横坐标固定，仅纵坐标为参数）。

*表示出PA、PB的长度或△PAB的面积表达式。

*若求最小值，可能涉及“将军饮马”模型；若求面积最大值，可能转化为二次函数求最值问题。

（二）动点在几何图形中运动，其轨迹满足某种函数关系

这类问题中，动点在特定的几何图形（如直线、三角形、四边形）上运动，我们需要根据其运动规律，求出动点坐标(x,y)之间满足的函数关系式，并可能进一步研究函数的性质或相关问题。

常见设问方向：

1.求动点运动时，其坐标所满足的函数解析式。

2.判断该函数的类型。

3.在求出函数解析式后，解决与该函数相关的问题（如自变量取值范围、与其他函数交点等）。

解题策略：

1.分析运动：明确动点的运动路径、起点、终点、速度（如果涉及时间）或其他限制条件。

2.设元表示：设出动点的坐标(x,y)，有时还需