北京--正弦函数图象的对称性（檀晋轩）CASIO.docVIP

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）——正弦函数图象的对称性

教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下）

授课教师：北京市第十九中学檀晋轩

【教学目标】

2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.

3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.

【教学重点】

正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.

【教学难点】

【教学方法】

教师启发引导与学生自主探究相结合.

【教学手段】

计算机、图形计算器（学生人手一台）.

【教学过程】

一、复习引入

1.展示生活实例

对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.

2．复习对称概念

初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：

轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；

中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.

3．作图观察

请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？

4．猜想图形性质

经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）

如何检验猜想是否正确？

今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）

二、探究新知

分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.

（一）对于正弦曲线轴对称性的研究

1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索

从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.

2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索

请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?

…

…

…

…

给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：

…

…

…

0.416

0.071

0.540

0.878

1

0.878

0.540

0.071

0.416

…

这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.

请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？

第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.

师生、生生交流，步步深入.

问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？

请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.

（二）对于正弦曲线中心对称性的研究

第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.

请同学尝试解决下列三个问题：

1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.

3．证明归纳出的等式.（根据课堂情况可以由学生课后完成证明）

三、课堂小结

1．课堂小结

（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.

2．作业

（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.

【教学设计说明】

1．关于教学内容

正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系.通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.

2．关于教学设计

本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.

在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点.教学设计流程图如下：

中心对称的研究

中心对称的研究

轴对称的研究

实例分析

抽象概括

实例分析

抽象概括

几何探索

数值检验

理论证明

几何探索

数值检验

理论证明

正弦曲线

的对称性

通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.

3．信息技术在教学中的作用

图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人