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通过三选手段来作平行线，解决与角有关的数学问题

论文摘要：本文通过一道作业题如何构筑平行线的话题，从两种不同的角度进行分析，先逐步引导学生修成两种成就：其一是修成“定题型、定方法”的学习方法上的成就；其二是修成“让知识回归到当初出现的本源状态中去”的思维方法上的成就。再因势利导学生在‘知行合一”的听闻和数学精神的感悟中，将一粒为明天的理性和情感作准备的种子珍藏到心田深处。。

关键词：平行线，几何模型，形象化比喻，数学家的创作之路，定题型，定方法回归三线八角，三选手段，坚信，坚守，本源状态，螺旋回归，知行合一，人，数学精神

正文：初一下册的学生在学完了“第二章相交线与平行线”之后，对“三线八角”的概念以及对“平行线的判定和性质”的使用有了一定程度的认识，在教学中可以尝试进行适当的拓展学习，以培养学生的数学思维，真正体现教育要面向学生的未来——注重数学思维的培养与数学精神的熏陶。

上篇

ABEDC图（1）下面笔者选择如下问题作为培养学生相关数学思维的载体。如图已知：DE∥BC，试说明∠AED=

A

B

E

D

C

图（1）

第一次分析：这道题的以知条件是DE∥BC,即已知二直线平行。笔者问学生：“平行线最容易让我们联想到什么？”学生较多能回答出：“二直线平行,可得同位角相等，也可得内错角相等，还可得同旁内角互补。”

待证问题“∠AED=∠A+∠B”中涉及到了哪些角？我们应不应该在图中去探索这些角与图中其它角的联系？或者应不应该在图中去探索这三个角之间存在的联系？同学们的回答自然表现的很肯定。

笔者放手十分钟时间让学生去探索，结果有同学用作平行线的方法解决了这个问题，也有同学用小学知识“三角形的内角和为180”

尝试一：笔者开始引导，在现有的图（1）中，∠AED没办法与其他角进行联FABEDC图（2）系，为什么？因为它没有处在三线八角的环境中。那么想到这里，同学们应该心生什么样的冲动呢？片刻之后，有少数几个同学说出要延长AE，得到图（2），此时由DE∥BC，我们容易得到∠AED=∠AFC,且大多数同学也能说出理由是：二直线平行，同位角相等，为此则原问题可转化为求证:∠AFC=∠A+∠B，但此时

F

A

B

E

D

C

图（2）

但有些同学若有所悟，给出了如下的解题思路：∵∠A+∠B+∠AFB=180°,又∵∠AFC+∠AFB=180°，∴∠AFC=∠A+∠B。笔者首先进行了表扬和肯定，然后对学生说：“这种思路完全正确，可以得满分！但我们今天的授课有一个前提是不用‘三角形的内角和为180°’的知识”。

AHBEDC图（3）〈尝试二〉：笔者继续引导，在原有的图（1）中，∠B能直接与其他角联系起来吗？不能！为什么？因为它没有处在三线八角的环境中。那么为了让∠B能处在三线八角的环境中，我们应该心生什么样的冲动呢？很多同学说出要延长DE，得到图（3），此时由DE∥BC可得∠B=∠AHE，于是问题转化为求证：∠AED=∠A+∠AHE。笔者又引导说：“如果不使用三角形内角和为180°的知识，那么∠A和

A

H

B

E

D

C

图（3）

〈尝试三〉：通过图（2）和图（3）的探索后，同学们很容易感觉出阻碍思维继续推进的绊脚石就是∠A，于是师生都共同责怪∠A“不听话”，因为它不容易转化成其它角，或说它不容易与其它角发生联系。我们解题之所以如此不顺手，全是因为∠A的位置太古怪，它不像∠B和∠AED那样表现得很“听话”。∠B和∠AED生性乖巧，因其顶点本生就处在平行线上，继而极易通过平行线来与其它角取得联系。

现在为了让∠A也表现出同样的“乖巧性”，我们应该心生怎样的冲动呢？（有几个同学小声说过点A作平行线）笔者不太满意，又特意提点一番说：“因为∠B和∠AED的顶点在平行线上，所以用起来才会很顺手。而∠A之所以用起来不顺手，全是因为它的顶点不在平行线上，现在为了让∠A用起来顺手一点，我们就应该让∠A的顶点处在什么上？”这时终于有更多学生大声说：“处在平行线上！”

AP

A

P

B

E

D

C

图（4）

Q好的，现在为了消除∠A给我们带来的痛苦，我们需要过点A作PQ∥DE,得到图（4），此时容易想到：

Q

∠AED=∠EAQ

=∠EAB+∠BAQ

=∠EAB+∠B,可见此路通畅。

笔者请同学们用5分钟时间把解题进程写在草稿本上。

〈问题解决〉5分钟过后，笔者开始引导学生如何把闪烁波动的思绪进行整理(很多同学说自己会想，但不知该怎样写)，然后转化为符号语言，呈现为问题的书面解答形式：

证明：过点A作PQ∥DE，∵DE∥BC

∴PQ∥DE∥BC

∴∠AED=∠EAQ,∠B=∠BAQ

又∵∠EAQ=∠EAB+∠BAQ