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2025年专升本数学（文科）练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在区间（a，b）内连续，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在区间（a，b）内（）

A.有一个实根

B.有两个实根

C.有至少一个实根

D.无法确定是否有实根

答案：C

解析：根据零点定理，如果一个连续函数在某一区间的两端点取值异号，那么在这个区间内至少存在一个实根。因此选C。

2.已知函数y=x^33x+1，求函数的极值点。

A.x=1和x=1

B.x=2和x=2

C.x=1和x=2

D.x=1和x=2

答案：A

解析：求函数的导数y=3x^23，令y=0得x=1和x=1。将这两个点分别代入y=6x，得y(1)=60，y(1)=60。所以x=1是极小值点，x=1是极大值点。

3.若lim(x→∞)[f(x)+g(x)]=0，且lim(x→∞)f(x)=1，则lim(x→∞)g(x)等于（）

A.1

B.0

C.1

D.无法确定

答案：A

解析：由lim(x→∞)[f(x)+g(x)]=0，且lim(x→∞)f(x)=1，可得lim(x→∞)g(x)=lim(x→∞)f(x)=1。

4.设函数y=cos(x)sin(x)，求函数的周期。

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

答案：B

解析：函数y=cos(x)sin(x)可以写成y=√2cos(x+π/4)。由于cos(x)的周期为2π，所以函数y的周期也为2π。

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，求首项a1和公差d。

A.a1=3，d=4

B.a1=3，d=5

C.a1=4，d=3

D.a1=4，d=5

答案：A

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得an=(2Sn/n)a1。将Sn=2n^2+n代入，得an=4n+1。所以a1=a2=5，d=a2a1=4。因此选A。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=3x^34x^2+1的极值点是__________。

答案：x=0和x=2/3

2.级数11/2+1/31/4+...的和为__________。

答案：ln(2)

3.线段AB的中点坐标为（3，4），点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为__________。

答案：（4，7）

4.设a、b为实数，且a≠b，若方程ax^2+bx+1=0有两个实根，则a和b满足的条件是__________。

答案：a0且b^24a0

5.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[1,0],[0,1]]，则矩阵A与B的乘积AB为__________。

答案：[[1,2],[3,4]]

三、解答题（每题20分，共60分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间和极值。

答案：f(x)在(∞,1)和(1,+∞)上单调递增，在(1,1)上单调递减。f(1)=3为极大值，f(1)=1为极小值。

2.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，求证：数列{an}是等差数列。

答案：由Sn=2n^2+n，得an=SnSn1=4n3。又an1=4(n1)3=4n7。所以anan1=4，即数列{an}的公差为4。又a1=5，所以数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列。

3.求极限lim(x→0)(sin(x)x)/x^3。

答案：lim(x→0)(sin(x)x)/x^3=lim(x→0)[(sin(x)x)/x^2](1/x)=lim(x→0)[cos(x)1](1/x)+lim(x→0)(x/x^2)(1/x)=0+(1)=1。