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直线与平面角度的教学方案与习题

一、教学方案

（一）教学目标

1.知识与技能：

*学生能够准确理解直线与平面所成角的定义。

*学生能够熟练掌握直线与平面所成角的作法、证法及求法。

*学生能够运用直线与平面所成角的知识解决相关的几何问题。

*培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和将空间问题转化为平面问题的化归能力。

2.过程与方法：

*通过观察、分析、抽象、概括等数学活动，引导学生经历概念的形成过程。

*通过例题和习题的讲解与练习，使学生掌握求直线与平面所成角的基本方法和步骤。

*鼓励学生自主探究与合作交流，体验解决几何问题的思维过程。

3.情感态度与价值观：

*通过对空间图形的研究，激发学生学习立体几何的兴趣，培养学生的数学审美情趣。

*在解决问题的过程中，培养学生严谨的治学态度和克服困难的信心。

*体会数学的逻辑性和严谨性，感受空间几何在现实生活中的广泛应用。

（二）教学重难点

1.教学重点：

*直线与平面所成角的定义。

*求直线与平面所成角的一般步骤：作（或找）、证、算。

2.教学难点：

*直线与平面所成角的“作角”环节，即如何准确找到直线在平面内的射影。

*将空间问题转化为平面问题（特别是解直角三角形）的思想方法的应用。

*在复杂的几何图形中，准确识别和构造与所求角相关的直角三角形。

（三）教学过程设计

1.复习引入

*提问回顾：

*直线与平面有哪几种位置关系？（平行、相交、直线在平面内）

*当直线与平面相交时，它们的相对位置可以用什么来精确描述？（除了交点，还需要角度）

*情境创设：

*观察教室中墙角线与地面的关系，斜拉桥的钢索与桥面的关系，让学生直观感受直线与平面相交时“倾斜程度”的不同。

*引出问题：如何用一个数量来刻画这种“倾斜程度”？从而引入“直线与平面所成角”的概念。

2.概念形成

*动手操作与观察：

*引导学生观察一支铅笔（代表直线）与桌面（代表平面）相交的情形。

*当铅笔绕着与桌面的交点转动时，它在桌面上的“影子”（即射影）的长度和方向会发生变化。

*给出定义：

*斜线：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

*斜足：斜线与平面的交点。

*射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。

*直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

*特殊情况：

*一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角。

*一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是零度角。

*强调要点：

*直线与平面所成角的范围是[0°,90°]。

*斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理，可简要提及或留待后续证明）。

3.方法探究

*如何求直线与平面所成的角？

*步骤：

1.作角：在斜线上任取一点（异于斜足），过该点作平面的垂线，找到垂足，连接垂足和斜足，得到斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成的锐角即为所求角。

2.证角：证明所作（或找到的）角满足直线与平面所成角的定义（即证明所作的直线为垂线，得到的是射影）。

3.求角：将所求角放入一个直角三角形中，通过解直角三角形求出角的大小（通常利用三角函数，如正弦、余弦、正切）。

*关键：如何过斜线上一点作平面的垂线，找到垂足的位置是核心。这需要利用已知的垂直关系或通过辅助线构造垂直。

*思想方法：

*转化与化归：将空间角（线面角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角）。

*降维思想：将三维空间问题转化为二维平面（直角三角形）问题求解。

4.例题讲解

*例题1（基础模型）：

如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中，求直线A?B与平面ABCD所成的角。

*分析：

*直线A?B是平面ABCD的斜线，斜足为B。

*过A?作平面ABCD的垂线，垂足为A（因为正方体的侧棱垂直于底面）。

*所以，A?B在平面ABCD上的射影为AB。

*因此，∠A?BA即为直线A?B与平面ABCD所成的角。

*在Rt△A?AB中，A?A=AB，所以∠A?BA=45°。

*解答：（规范书写过程，强调作、证、求三步）

*例题2（稍复杂模型）：

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，求侧棱PA与底面ABCD所成的角。

*分析：

*正四棱锥的顶点P在底面ABCD上的射影是底面正方形的中心O。

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