第七节 二阶常系数线性微分方程.pptVIP

第1页，共40页，星期日，2025年，2月5日一、二阶常系数齐次线性微分方程

1、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式第2页，共40页，星期日，2025年，2月5日2、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根第3页，共40页，星期日，2025年，2月5日(1)特征方程有两个不相等的实根两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为特征根为第4页，共40页，星期日，2025年，2月5日(2)特征方程有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第5页，共40页，星期日，2025年，2月5日(3)特征方程有一对共轭复根特征根为这时原方程有两个复数解:可得得齐次方程的通解为第6页，共40页，星期日，2025年，2月5日二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程:(2)求出特征根:(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.第7页，共40页，星期日，2025年，2月5日定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1第8页，共40页，星期日，2025年，2月5日解特征方程为解得故所求通解为例2第9页，共40页，星期日，2025年，2月5日解特征方程为解得故所求通解为例3第10页，共40页，星期日，2025年，2月5日例4求解初值问题解特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第11页，共40页，星期日，2025年，2月5日特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性方程解法第12页，共40页，星期日，2025年，2月5日解特征方程为解得故所求通解为例1第13页，共40页，星期日，2025年，2月5日例2解特征方程：特征根:原方程通解:第14页，共40页，星期日，2025年，2月5日思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第15页，共40页，星期日，2025年，2月5日二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程的结构知:非齐次线性微分方程的通解=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解第16页，共40页，星期日，2025年，2月5日二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构f(x)常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.第17页，共40页，星期日，2025年，2月5日1、f(x)=Pm(x)e?x型设方程特解为其中Q(x)为待定多项式,代入原方程,得第18页，共40页，星期日，2025年，2月5日从而得到特解形式为(2)若?是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若?是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即即第19页，共40页，星期日，2025年，2月5日综上可得：(Page291)可设特解形式为?不是特征方程的根?是特征方程的单根?是特征方程的二重根注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.第20页，共40页，星期日，2025年，2月5日解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得?原方程通解为例1对应齐次方程为第21页，共40页，星期日，2025年，2月5日解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得?原方程通解为例2对应齐次方程为第22页，共40页，星期日，2025年，2月5日例3解特征方程为特征根为故对应齐次方程的通解为对应齐次方程为代入原方程,得?原方程通解为第23页，共40页，星期日，2025年，2月5日由解得所以原方程满足初始条件的特解为第24页，共40页，星期日，2025年，2月5日2、f(x)=e?x[Pl(x)cos?x+Pn(x)sin?x]型利用欧拉公式求如下两方程的特解：第25页，共40页，星期日，2025年，2月5日Page293注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.第26页，共40页，星期日，2025年，2月5日的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程