2024-2025学年湖北省楚天协作体高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）.docxVIP

高级中学名校试卷

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湖北省楚天协作体2024-2025学年高二上学期1月期末考试

数学试题

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知直线，直线，则直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由直线，则其斜率，

设直线的倾斜角为，则有，故，

由，故.

故选：A.

2.双曲线的渐近线方程为，则（）

A. B.2 C. D.

【答案】D

【解析】因为双曲线方程为，所以，

所以渐近线方程为，即得，所以.

故选：D.

3.已知数列满足：，，则所有可能的取值的集合为（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】依题意，，，，，，…，

所以是周期为3的周期数列，根据选项，结合集合元素无序性.

故选：C.

4.如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】记线段的中点为，由正四面体的性质可知，为的重心，

因为为的中点，则，所以，，

所以，，所以

所以

.

故选：B.

5.已知事件，满足，，则（）

A.若与相互独立，则

B.若与互斥，

C.因为，所以与相互对立

D.若，则

【答案】D

【解析】选项A，若与相互独立，则与相互独立，

所以，故A错误；

选项B，若与互斥，则，不可能同时发生，即，故B错误；

选项C，，则由于不确定与是否互斥，

所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，

设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，

则，，但事件，并不互斥，也不对立，故C错误；

选项D，若，则，则，故D正确.

故选：D.

6.已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由，配方得，

则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得，

故实数的取值范围是.

故选：A.

7.已知是等比数列，前项和为，且满足，，则等于（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，，则得到，

故，得或1（舍去），

，.

设，由等比数列性质可知，数列也为等比数列，

且首项为，公比为4，故.

故选：C.

8.已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点横坐标为，则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设，中点，则，，

，两式相减得，经检验成立.

所以该双曲线的离心率为.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.记等差数列的前项和为，若，，则（）

A.的前10项和为50 B.是递增数列

C.当时，取得最小值 D.若，则的最小值为11

【答案】ABD

【解析】设公差为，则，

，，，

对于A：，知A正确；

对于B，由知B正确；

对于C，由通项公式知道，知C错误；

对于D，由时，，且，知D正确.

故选：ABD.

10.如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（）

A.直线与所成角的余弦值为

B.平面

C.点到直线的距离为1

D.在上的投影向量为

【答案】BC

【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

且，分别为棱，的中点，可知，，

可得，，，，

对于选项A：因为，

所以直线与所成角的余弦值为，故A错误；

对于选项B：，，设平面的法向量为，

则，令，解得，

所以，，因为，所以平面，B选项正确；

对于选项C：因为在方向上的投影向量的模长为，且，

点到直线的距离为，故C正确；

对于选项D：在上的投影向量为，D错误.

故选：BC.

11.已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次为，，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（）

A.

B.若的倾斜角为，点在第一象限，则

C.若，则的斜率为1

D.若点，在上，且，则

【答案】ABD

【解析】对于A：由题意得抛物线的焦点，准线方程为，

因为长的最小值为4，所以，解得，故A正确

对于B：所以抛物线的方程为，

设直线的方程为，，，

联立，得，

所以，，

所以，，

由抛物线的定义可得，，

，若的倾斜角为，则，

所以，，所以，，所以，，

所以，，所以，故B正确；

对于C：若，则，所以，

所以，所以，所以，

解得，所以直线的斜率为1或，故C错误；

对于D：设，，由，得为的重心，

所以，，

所以，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

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