第四节 可测函数结构.pptVIP

第1页，共13页，星期日，2025年，2月5日可测函数简单函数是可测函数可测函数总可表示成一列简单函数的极限（当可测函数有界时，可作到一致收敛）问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？可测集E上的连续函数定为可测函数第2页，共13页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列（2）任一可测函数差不多就是连续函数第3页，共13页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理的证明证明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)为有限函数(1)当f(x)为简单函数时，当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，故f(x)在上连续显然F为闭集，且有第4页，共13页，星期日，2025年，2月5日对f(x)在F连续的说明若f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，则f(x)在上连续故对任意x`∈O(x,δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f连续Fi0()x证明：任取则存在i0，使得x∈Fi0，f(x)=ci0，又Fi为两两不交闭集，从而x在开集中所以存在δ0,使得第5页，共13页，星期日，2025年，2月5日对f(x)在F连续的说明说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取x∈Fi足够小的邻域不含其他Fi中的点函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R上处处不连续条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：第6页，共13页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理的证明(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列{φn(x)}在E上一致收敛于f(x)，由{φn(x)}在F连续及一致收敛于f(x)，易知f(x)在闭集F上连续。利用(1)的结果知第7页，共13页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理的证明则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果（连续函数类关于四则运算封闭）(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换第8页，共13页，星期日，2025年，2月5日注：(1)鲁津定理推论鲁津定理（限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）若f(x)为上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)ε（对n维空间也成立）则及R上的连续函数g(x)第9页，共13页，星期日，2025年，2月5日开集的余集是闭集闭集的余集是开集aibi直线上的开集构造直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并鲁津定理推论证明的说明鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续第10页，共13页，星期日，2025年，2月5日