2024年全国硕士研究生统一招生考试数学（一）真题.docxVIP

2024年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个部分，以下为你提供真题内容及部分题目的解析示例（由于完整详细解析篇幅极长，这里先做部分展示）。

一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）

1.当x→0时，1?cosx2是xn

2

3

4

5

答案：C

解析：当x→0时，1?cost～12t2

2.设函数f(x)=ln(1+ax)

1

2

3

4

答案：B

解析：函数在某点连续，则该点极限值等于函数值。limx→0ln(1+ax)x，根据等价无穷小，当x→0

3.设y=y(x)是由方程y?x

1

2

e

e

答案：A

解析：对方程y?xey=1两边关于x求导，根据求导法则，y′?(ey+xeyy′)=0，整理得y′=ey1?

4.设I=01xb?x

ln

ln

ln

ln

答案：B

解析：利用含参变量积分求导，设I(t)=01xt?xalnxdx，对t求导，I′(t)=01??t(xt?xalnx)dx=01xtdx=xt+1t+101=1t+1。再对I′(t)积分，I(t)=∫1t+1dt=ln(t+1)+C，当t=a时，I(a)=0，即0=ln(a+1)+C，C=?ln(a+1)，所以I(b)=ln(b

5.设n=1∞a

n=1

n=1

n=1

n=1

答案：D

解析：已知n=1∞an收敛，则n=1∞an+1也收敛（只是少了第一项a1）。根据级数的性质，若n=1∞un和

6.设α=(1,1,1)T，β=(1,

1

2

3

0

答案：A

解析：先计算αβT=111(1,0,k)=10k10k10

7.设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A)=2

0

1

2

3

答案：B

解析：对于n阶矩阵A，r(A)与r(A*)有如下关系：当r(A)=n时，r(A*)=n；当r

8.设X～N(μ,σ2)，则随着

单调增大

单调减小

保持不变

增减不定

答案：C

解析：若X～N(μ,σ2)，则Z=X?μσ～N(0

9.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分

π

π

3

2

答案：B

解析：正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，可利用参数方程x=2cost，y=2sint，t∈0,π2，dx=?2sintdt，dy=2costdt。则L?xdy?2ydx=0π2[2cost?2cost?22sint?(?2sint)]dt=0π2(2cos2t+4sin2t)dt=0

10.设A,B为随机事件，且P(A)=0.4，P(

0.25

0.5

0.75

1

答案：A

解析：根据概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)，已知P(A)

二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）

11.函数f(x)=x3

答案：y=?3x+2

解析：先求f(1)=13?3×

12.设z=ex+

答案：ex+y

解析：先求?z?x=

13.设A=123

答案：?2132?12

解析：对于二阶矩阵A=abcd，A?1=

14.设L为球面x2+y2+z2=1

答案：2π3

解析：由对称性可知L?x2ds=L?y2ds=L?z2ds，且

15.设α1=100，α2=01

答案：3

解析：因为α1,α2,α3是三维单位向量组，线性无关，β=α

16.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1

答案：2

解析：若X～P(λ)，则P(X=k)=λke?λk!，已知P(X=1)

三、解答题（17-22小题，共70分）

17.（10分）求极限limx

解析：

$$

\begin{align*}

{x}\

={x}\

={x}\

={x}\

={x}\

={x}\frac{