多面体的外接球问题.docxVIP

-

-PAGE1-

多面体的外接球问题

摘 要：对于圆柱、圆锥和圆台这几类旋转体的外接球问题，我们是有一般性通法来处理的，然而多面体的旋转与上述几类旋转体有着密切的联系，为此，我们需将多面体的旋转进行分类和归纳。然而，多面体旋转得圆柱和圆锥这两类多面体简单易操作，但对于多面体旋转得圆台这类多面体复杂难操作，因此还需另辟蹊径。其方法还是回归基础，先找球心，再计算半径，其过程繁琐，那么其中是否蕴藏着运算技巧和规律呢？本文尝试探究，从而形成一般性公式。

关键词：正弦定理，外接圆，外接球，旋转，二面角

引言：根据多面体的旋转所得到的旋转体，以及二面角的大小情况这两个维度，笔者将多面体的外接球问题归结为以下几种题型：圆柱型、圆锥型、圆台型、长方体型、直二面角型、非直二面角型、共斜边的两个RtΔ二面角型，针对这七种题型笔者下一一给出求解

公式及范例分析。

?h?2???

?h?2

???r2

?2?

外

情形一：直棱柱（h是侧棱长，r是底面多边形的外接

圆半径，其求法可借助正弦定理：2r?

a ）

sinA

情形二：直棱锥（h是直侧棱长，r是底面多边形的外

接圆半径，其求法可借助正弦定理：2r?

a ）

sinA

注：直棱锥是指有一条侧棱垂直于底面的的棱锥，且该侧棱即称为直侧棱.

3例1.在三棱锥P?ABC中，?ABC?120?，AC? ，PA?面ABC，PA?4，则三

3

棱锥P?ABC的外接球的表面积为（ ）

20?

?16?

?12?

8?

【解析】记?ABC外接圆半径为r，则2r?

3

?4?2

?4?2

???12

?2?

5

□2，所以r?1，且h?4，

记三棱锥的外接球半径为R外

，则R外

□

□

，所以S表

□20?.

l2

题型二：圆锥型（2R外?h）

l2?r2情形一

l2?r2

正多边形的外接圆半径）

情形二：等腰棱锥（l是侧棱长，h?

，r是底面

l2?

l2?r2

面多边形的外接圆半径，其求法可借助正弦定理：2r?

注：等腰棱锥是指所有侧棱都相等的棱锥.

a ）

sinA

【证明】圆锥的轴截面（等腰三角形）的外接圆半径即为其外接球半径.

l l l2

所以2R外?sin??h?h.

l

例2.在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?9

2,AB?6,AC?8，顶点P在锐角

?ABC内的射影为H，且AH?xAB?yAC?x?2y?1?，则三棱锥P?ABC的外接球

的半径为

【解析】由题意可知H是?ABC的外心，取AC中点为D，则HD?AC，且

25552B,D,H三点共线，故BD?AC.所以BA?BC?6.以PH

25

5

5

2

PH，记底面圆的半径为r，则2r?

AB2 62

□

□ ?

62?42

6 ?18

，所以r?9.

?92?2

?92?2

5

5

l2

2R外?h

□

□9?9?29?3

□6

，所以R外?3 .

?92??? ?2□9?2□5?52例3.已知半径为4

?92??? ?

2

□9?

2

□

5?

5

2

C满足二面角C?AB?O的大小为60?，则四面体O?ABC的外接球的半径为

【解析】考虑到OA?OB?OC?4,因此四面体O?ABC是等腰三棱锥，结合二

6863463面角C?AB?O的大小为60?，可计算h?22?sin60

6

86

3

46

3

l2

记四面体的外接球半径为R外，则2R外?h

42

6□

6

□

，所以R外? .

?r?r?2?h2?r?r?2?h2

题型三：圆台型（2R外

□ 1 2 1 2 ）

h

注：1.r1,r2是上、下底面多边形的外接圆半径，其

求法可借助正弦定理：2r?

a ；

sinA

2.h是O1O2的长（即上、下底面的距离）.

【证明】圆台的轴截面（等腰梯形）的外接圆半径即为其外接球半径，又

?ABC的外接圆半径即为等腰梯形ABCD的外接圆半径.

AC ?r?r?2?h2 l??r?r?2?h2 ?r?r?2?h2?r?r?2?h2

所以2R?

□ 1 2