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对阿基米德三角形性质的进一步思考

摘要：阿基米德三角形内涵丰富，立意深远，与其相关的结论形式优美，内容深刻，考察了学生的数学核心素养而不仅限于数学知识和解题技能的掌握.成为高考试题中圆锥曲线压轴题的热门素材。本文对阿基米德三角形的性质和相关高考试题做了一些探索和总结.

关键词：阿基米德三角形、性质应用、高考试题

抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形通常被称为阿基米德三角形.在近年来的全国各地高考试题中，阿基米德三角形频频作为圆锥曲线压轴题出现.函数导数与解析几何内容在这里交叉与融合，函数与方程思想也得到充分体现，考察了学生对知识和方法的灵活运用和思维的逻辑性和抽象性.下面对阿基米德三角形的有关性质作出一些探索和总结。

引理(1)在抛物线x2=2my(m≠0)上一点A(x0,y0)的切线方程为x0x=m(y+y0).

(2)在抛物线y2=2mx(m≠0)上一点A(x0,y0)的切线方程为y0y=m

(x+x0).

证明(1)由x2=2my得y=x2,对x求导得，y=2x=x,所以在点A

2m 2m m

(x,y

)的切线方程为y-y

x0

= (x-x

)即my-my

=xx-x2

=xx-2m

0 0 0 m 0

0 0 0 0

y0,所以x0x=m(y+y0).

(2)由y2=2mx得x=y2,对y求导得，x=2y

=y,所以在点A

(x,y

)的切线方程为x-x

2m

y0

= (y-y

2m

)即mx-mx=y

m

y-y2

=yy-2m

0 0 0 m 0

0 0 0 0

x0,所以y0y=m(x+x0).

下面对阿基米德三角形的性质的研究，以抛物线x2

=2py(p0)为例.如图1，抛物线上两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),以A、B为切点的切线PA、PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德三角形PAB的底边,点P为阿基米德三角形的顶点.

性质1(1)点P的坐标为(x1+x2,x1x2),即阿基米德三角形底边上的中线平行

于抛物线的对称轴.

2 2p

若直线AB方程为y=kx+b,则点P的坐标为(pk,-b).

若点P的坐标为(x

方程为x0x=p(y+y0).

0,y

x0

0),则直线AB的斜率为p,纵坐标为-

y0,直线AB

(x02-2py0)3p若点P的坐标为(x

(x02-2py0)3

p

|x1-x2|3

或S?PAB

＝8p .

若点P的坐标为(x

0,y

0)，则kAP

kBP

2y0.

=p

=

若点F为抛物线的焦点,则|AF|?|BF|=|PF|2.

证明(1)由引理（1）直线PA方程为x1x=p(y+y1)，直线PB方程为x2

x=p(y+y2)，联立

x1x=p(y+y1)得点P的坐标为(x1+x2,x1x2).

{x2x=p(y+y2)

-x2x2

-

2 2p

2证法1 因为直线AB的斜率k=y-y

2

21

==1 2p2p

=

=

x1+x2,所以直线AB

x12

x1+x2

x2-x1

-x1x2

x2-x1

2p

b=-x1x

b=

方程为y-2p=

2p (x-x1),令x=0得y=

，所以

2p

2p,由性质1

22p（1）点P的坐标为(x1+x2,x1x2)，即(pk,-b).

2

2p

x2=2py证法2 直线AB方程为y=kx+b,联立{y=kx+

x2=2py

-2pkx-2pb=0。由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2pb,由性质1

22p（1）点P的坐标为(x1+x2,x1x2)即(pk,-b).

2

2p

y0=-b k=p,b=-y0,证法1：由性质1

y0=-b k=

p,b=-y0,

所以直线AB

方程为

方程为 0

y=px-y

0,即x

0x=p(y+y

0).

证法2 (同构法)由引理(1)直线PA方程为x1x=p(y+y1)，直线PB方

x2x0=p(y0+y2)程为x2x=p(y+y2)，又因为点P坐标为(x0,y0)，所以

x2x0=p(y0+y2)

，所