连续函数的四则运算.pptVIP

第1页，共24页，星期日，2025年，2月5日一、连续函数的算术运算定理1若函数在点处连续,则在点处也连续.例如,在内连续,故在其定义域内连续.第2页，共24页，星期日，2025年，2月5日二、复合函数的连续性定理2若函数在点处连续,则有证在点处连续,当时,恒有又对上述当时,恒有结合上述两步得,当第3页，共24页，星期日，2025年，2月5日时,恒有意义1.2.极限符号可以与连续函数符号互换;的理论依据.定理2给出了变量代换第4页，共24页，星期日，2025年，2月5日定理3设函数在点处连续,且而函数在点处连续,则复合函数在点处也连续.注意定理4是定理3的特殊情况.例如,在内连续,在内连续,在内连续.第5页，共24页，星期日，2025年，2月5日例1完求解第6页，共24页，星期日，2025年，2月5日例完求解第7页，共24页，星期日，2025年，2月5日例2完求解因为所以第8页，共24页，星期日，2025年，2月5日三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数的;指数函数在内单调且连续;对数函数在内单调且连续;在内连续.讨论的不同值(均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续第9页，共24页，星期日，2025年，2月5日初等函数的连续性讨论的不同值(均在其定义域内连续).定理4基本初级函数定理5一切初级函数定义区间是指注意1.但在其定义域内不一定连续.例如,在这些孤立点的领域内没有定义.及在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续,第10页，共24页，星期日，2025年，2月5日在这些孤立点的领域内没有定义.及在0点的领域内没有定义,函数在区间上2.定义区间).连续.初等函数求极限的方法(代入法)完第11页，共24页，星期日，2025年，2月5日例3完求解因为是初等函数,且是其定义区间内的点,所以在点处连续,于是第12页，共24页，星期日，2025年，2月5日幂指函数因为故幂指函数可化为复合函数.易见:若则即注意公式成立的条件例6求称为幂指函数.解完形如的函数第13页，共24页，星期日，2025年，2月5日定义对于在区间上有定义的函数如果有使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.例如,在上,在上,四、闭区间上连续函数的性质第14页，共24页，星期日，2025年，2月5日定理6最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理7有界性定理在闭区间上连续的函数证设函数在上连续,于是存在、使得有取故函数在上有界.完一定在该区间上有界.第15页，共24页，星期日，2025年，2月5日定义如果使则称为函数的零点.定理8零点定理设函数在闭区间上连续,且与异号(即即至少有一点使那么在开区内至少有函数间的一个零点,即方程在内至少存在一个实根.定理9介值定理设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同的函数值第16页，共24页，星期日，2025年，2月5日推论1在闭区间上连续的函数与最小值之间的任何值.必取得介于最大值第17页，共24页，星期日，2025年，2月5日