专项提分练5题型应用根的判别式及根与系数的关系的应用.docxVIP

专项提分练5

题型应用根的判别式及根与系数的关系的应用

题型一综合运用根与系数的关系及根的判别式解决参数存在问题

1(2024·南充期中)若关于x的方程mx23x+1=0有实数根,则m的取值范围是(D)

A.m≤94且m≠0 B.m94且

C.m94 D.m≤

2(2024·洛阳期中)若方程bx2+x+1=0有实数根,则b的值不可能是(B)

A.0 B.1 C.0.2 D.D.2

3已知关于x的一元二次方程x2(2m+1)x+m22=0的两个实数根分别为α,β,若α2+β2=11,则m的值为1.?

4已知关于x的方程x22x3m2=0.

(1)求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;

解:(1)Δ=b24ac=(2)24×1×(3m2)=4+12m2,

∵12m2≥0,∴4+12m2≥40,

∴该方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程的两个实数根分别为α,β,且2α+5β=13,求m的值.

解:(2)由根与系数的关系可知,α+β=2,αβ=3m2,

∵2α+5β=13,

∴2(2β)+5β=13,解得β=3,

∴α=1,∴3m2=1×3=3,

∴m2=1,即m=±1.

5已知关于x的方程mx2+nx2=0(m≠0).

(1)若方程有两个相等的实数根,请求出m,n的关系;

解:(1)由题意得:Δ=n24m·(2)=n2+8m,

∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,

∴n2+8m=0,∴n2=8m(m≠0);

(2)求证:当n=m2时,方程总有两个实数根.

解:(2)当n=m2时,

Δ=(m2)2+8m=m2+4m+4,

∵m2+4m+4=(m+2)2≥0,

∴方程始终有两个实数根.

6已知关于x的一元二次方程x2(2k1)·x+k2k2=0.

(1)试证明:无论k取何值,此方程总有两个不同的实数根;

解:(1)∵Δ=[(2k1)]24(k2k2)=90,∴无论k取何值,此方程总有两个不同的实数根.

(2)若其两根x1,x2满足x12+x22=17,

解:(2)由x12+x22=17得(x1+x2)22x

∵x1+x2=2k1,x1x2=k2k2,

∴(2k1)22(k2k2)=17.

解得k=3或2.

7已知关于x的方程x2+(32k)x+k2+1=0的两个实数根分别是x1,x2.

(1)求k的取值范围.

解:(1)∵关于x的方程x2+(32k)x+k2+1=0有两个实数根,

∴Δ=(32k)24×1×(k2+1)≥0,

解得k≤512,∴k的取值范围为k≤5

(2)若两个根x1,x2满足2x1x2x1x2=9,求k的值.

解:(2)∵x1,x2是关于x的方程x2+(32k)x+k2+1=0的两个实数根,

∴x1+x2=2k3,x1x2=k2+1,

又∵2x1x2x1x2=9,

即2(k2+1)(2k3)=9,∴k2k2=0,

解得k1=1,k2=2(不符合题意,舍去),

∴k的值为1.

题型二综合运用根与系数的关系及根的判别式解决几何图形问题

8(2024·菏泽期中)关于x的方程x22cx+a2+b2=0有两个相等的实数根,若a,b,c是△ABC的三边长,则这个三角形一定是(B)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

9等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程x24x+k=0的两个根,则三角形的周长为(D)

A.7或8 B.8 C.15 D.7

10(2024·岳阳期中)如图,四边形ABCD是边长为5的菱形,对角线AC,BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24=0的两实数根,DH是AB边上的高,则DH的值为?125

11关于x的一元二次方程ax2=4xb有两个实数根,其中a,b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度,则菱形ABCD面积的最大值为2.?

12(2024·广州期中)已知关于x的一元二次方程x22(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数).

(1)若方程的两根为菱形相邻两边长,求k的值;

解:(1)∵方程的两根为菱形相邻两边长,

∴此方程有两个相等的实数根,

∴Δ=0,

∴[2(k+1)]24(k2+k+3)=0,

4(k2+2k+1)4k24k12=0,

4k2+8k+44k24k12=0,

4k8=0,k=2;

(2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两根等于边长为2的菱形的两对角线长?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.

解:(2)不存在,理由如下:

∵该方程的两根是菱形的两对角线长,

设菱形的两对角线长分别为a,b,

∴a+b=2(k+1),ab=k2+k+3,

∵菱形的两对角线互相垂直平分,

∴由勾股定理得,(b2)2+(a2)

∴b2+a2=16,∴b2+2ab+a22a