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2025年统计学期末考试题库：抽样调查方法与概率抽样误差实例试题

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

简述简单随机抽样的定义及其主要特点。在什么情况下适用简单随机抽样？

二、

某地区有100个村庄，为调查该地区村民的平均年收入，现拟采用整群抽样方法。将100个村庄按地理顺序编号为1到100，随机抽取5个村庄，然后调查这5个村庄的所有村民。若抽取的村庄编号为23,47,56,78,92，请简述该整群抽样的抽样过程，并指出这里的抽样单位、群单元、样本。

三、

假设某城市有50万居民，按户籍登记分为A,B,C三个区，人口分别为20万、15万和15万。现欲进行一项城市居民生活满意度调查，要求各区至少调查400人。若采用分层比例抽样，已知A区居民对生活满意度（用1-5分表示）的样本标准差为0.8，B区为0.7，C区为0.9。若计划总样本量为2000人，请计算各区的样本量，并估算总体的平均满意度及其抽样平均误差。

四、

比较分层抽样和整群抽样的主要区别。在什么情况下，分层抽样可能比整群抽样更有效？请结合实际说明理由。

五、

某工厂生产一批零件，共10万件，为检验该批零件的一级品率，采用不重复简单随机抽样方式抽取1000件进行检验，结果发现一级品率为90%。若要求用95%的置信水平估计该批零件的一级品率，请计算其抽样极限误差。

六、

在重复简单随机抽样条件下，若要使抽样平均误差减少一半，样本量需要增加多少倍？若要使抽样极限误差减少20%，样本量需要增加多少？

七、

某大学欲调查学生平均每周用于课外活动的时数，学校共有5000名学生。已知学生每周用于课外活动时数的标准差为10小时。若要求以99%的置信水平估计平均时数，并希望抽样极限误差不超过1小时，应抽取多大的样本量？

八、

解释抽样误差和登记误差的区别。在抽样调查中，如何尽量减少抽样误差和登记误差？

九、

在一个分层抽样中，若某层的样本比例为p_h，层内方差为σ_h2，总体层数为K。请推导该层抽样平均误差的计算公式。当层内方差相等时（即σ?2=σ?2=...=σ_K2），分层抽样的平均误差与简单随机抽样的平均误差相比，有何优势？请说明原因。

试卷答案

一、

答案：简单随机抽样是指从总体N个单位中，不加任何分组、分层、聚类等，完全随机地抽取n个单位作为样本，使得总体中每个单位被抽中的概率相等的一种抽样方法。其主要特点是：每个样本单位被抽中的概率相同；样本中的单位是相互独立的。

解析思路：首先回答定义，明确其核心是“完全随机”和“等概率”。然后列出其主要特点，即“等概率”和“独立性”。最后说明其适用条件，通常指总体同质性较好，单位间差异不大，或者总体规模不是特别大，直接抽选相对可行的情况。

二、

答案：该整群抽样的抽样过程如下：首先，将100个村庄按地理顺序编号为1到100；其次，采用随机数表法或抽签等方式，从这100个编号中随机抽取5个编号，抽中的5个村庄即为抽中的群单元；最后，对抽中的5个村庄内的所有村民进行调查，收集所需数据。

解析思路：按照整群抽样的步骤来回答。第一步：明确总体单元（村庄）和编号。第二步：说明随机抽取群单元的方法（随机数表或抽签）。第三步：明确最终调查对象（抽中村庄内的所有个体）。

三、

答案：

1.各区样本量计算：

总样本量N=2000

A区人口P_A=200000,B区人口P_B=150000,C区人口P_C=150000

总人口P=500000

各区比例p_A=200000/500000=0.4,p_B=150000/500000=0.3,p_C=150000/500000=0.3

各区样本量n_h=N*p_h

n_A=2000*0.4=800

n_B=2000*0.3=600

n_C=2000*0.3=600

（满足各区至少调查400人的要求）

2.总体平均满意度及其抽样平均误差估算：

总体平均满意度\(\bar{X}\)的无偏估计为样本平均满意度\(\bar{x}\)。

\(\bar{x}=\frac{\sum_{h=1}^{K}n_h\bar{x}_h}{N}\)（这里假设每个村的样本量相等，若不等则用n_h\bar{x}_h/N）

由于未给出每个村的样本均值\(\bar{x}_h\)，无法计算确切\(\bar{x}\)。但计算抽样平均误差时，若层内方差未知，常使用层样本方差s_h2代替。

抽样平均误差\(\mu_{\ba