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21数学一真题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.当$x\to0$时，$x-\sinx$是$x^3$的（）

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小

2.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f(0)=0,f(0)=0,f(0)0$，在$x=0$某邻域内，$y=f(x)$的反函数是$x=g(y)$，则$\lim_{y\to0}\frac{g(y)-yf(y)}{y^3}=$（）

A.$-\frac{1}{6}f(0)$B.$\frac{1}{6}f(0)$C.$-\frac{1}{3}f(0)$D.$\frac{1}{3}f(0)$

3.设函数$f(x,y)$可微，且满足$f(1+\Deltax,1)-f(1,1)=2\Deltax+o(\Deltax)$，则$f_x(1,1)=$（）

A.1B.2C.0D.-1

4.设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为正项级数，下列结论中正确的是（）

A.若$\lim_{n\to\infty}na_n=0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

B.若存在非零常数$\lambda$，使得$\lim_{n\to\infty}na_n=\lambda$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

C.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim_{n\to\infty}n^2a_n=0$

D.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则存在非零常数$\lambda$，使得$\lim_{n\to\infty}na_n=\lambda$

5.设$A$为3阶矩阵，将$A$的第2列加到第1列得矩阵$B$，再交换$B$的第2行与第3行得单位矩阵，记$P_1=\begin{pmatrix}100\\110\\001\end{pmatrix}$，$P_2=\begin{pmatrix}100\\001\\010\end{pmatrix}$，则$A=$（）

A.$P_1P_2$B.$P_1^{-1}P_2$C.$P_2P_1$D.$P_2P_1^{-1}$

6.设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维向量空间$R^3$的一组基，则由基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$到基$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$的过渡矩阵为（）

A.$\begin{pmatrix}101\\110\\011\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}120\\012\\201\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}111\\11-1\\1-11\end{pmatrix}$

7.设随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X\simN(0,1),Y\simN(1,1)$，则（）

A.$P(X+Y\leq0)=\frac{1}{2}$B.$P(X+Y\leq1)=\frac{1}{2}$C.$P(X-Y\leq0)=\frac{1}{2}$D.$P(X-Y\leq1)=\frac{1}{2}$

8.设总体$X\simN(\mu,\sigma^2)$（$\mu,\sigma^2$未知），$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体$X$的样本，记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，则检验假设$H_0:\mu=\mu_0$；$H_1:\mu\neq\mu_0$时应采用的统计量是（）

A.$\frac{\overlin