解的简单迭代法.pptVIP

第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日问题:由求，然而是否是g(x)定义域上的值?定义4简单迭代法(3.2)称为适定的；法(3.2)称为收敛的。当迭代(3.2)收敛时,极限点又是g(x)的连续点,则的解也称的不动点。的不动点。称为则也可理解成：是映射，若满足。g(x)把定义域的每个x映成了g(x)，因此保持有界,若迭代序列且全在g(x)定义域内,则若进一步有则简单迭代迭代公式注:适定是收敛必要条件，即不适定则一定不收敛。第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日说明两点：分别就下列四种情况说明几何意义：(1)中的产生。（2）何时收敛,何时发散。几何意义求x=g(x)的根求的根迭代法收敛迭代法不收敛从点的直线交y=x于点出发,作平行于x轴作平行于y轴的直线交y=g(x)于点过该点即依次进行下去得到且第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日1.简单迭代法(2)给定满足2.收敛定理定理3(1)方法步骤:(压缩不动点定理或压缩映象定理)若迭代函数g(x)满足使有则（收敛程度）（收敛速度）分析:结论(1)中有唯一根,因此想到根的存在性定理,连续条件。(3.4)实际是第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日证明：若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了,对于一般情况,由根的存在定理，在上至少存在一个根即在[a,b]上至少存在一个根即定理3(压缩不动点定理或压缩映象定理)若迭代函数g(x)满足使有则从而下证唯一性，为在[a,b]上另一根,则设由条件(1)知适定的，另外第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日又（导数的定义）＃证明：注：(1)从定理的结论3知，L越小收敛越快，L叫做渐进收敛因子。第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日(2)定理3不是必要条件,如上不满足定理3的条件（2），实际上是解，只要取在0附近，把（－1，1）缩小使可以满足。(3.4)式的条件较难验证，常采用导数来代替。即有推论1：推论1定理3中（3.4）可用下式替代证明：只证因＃思考：不成立时结论是否成立？不一定因此该推论是充分条件但不是必要条件。若不成立时,则需要判断(3.4)。注：第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日定理4（局部收敛定理）有则由产生的序列收敛于且有误差估计：证明：实际计算中往往只在根因此有局部收敛定理4：邻近讨论，＃说明：定理中的条件是充分但非必要条件。见定理3的注（2）。第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日推论2若在不动点处可微，而且则存在当时，由产生的序列收敛于且证明：任取由知存在，成立即由定理4得证。＃(3.7)式的条件较难验证,常采用导数来代替。即有推论2：第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日在一定条件下，迭代是高价收敛的。有定理5：定理5（高阶收敛定理）若在不动点邻近有直至阶的连续导数，且满足则简单迭代法：是局部收敛的，且收敛阶为分析：已知条件有各阶导数均为0,因此用泰勒展开公式。证明：由推论2，简单迭代法是局部收敛的。下证收敛阶为＃第10页，共15页，星期日，2025年，2月5日3用简单迭代法求值（举例）：例用简单迭代法求的近似值。解：设则所以,求的近似值转化为求方程的正根，方程：以为迭代函数，以为初始近似得到迭代序列：取作为的近似值，得：下证序列收敛于只要证满足定理3，即证在某个区间上满足定理3的条件。取区间为列出等价第11页，共15页，星期日，2025年，2月5日