第四节最大流问题.pptVIP

第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日定义20设有向连通图的每条边上有非负数称为边容量，仅有一个r入次为0的点称为发点（源），一个出次为0的点称为收点（汇），其余点为中间点，这样的网络G称为容量网络，常记做。对任一G中的边有流量，称集合为G的一个流。称满足下列条件的流为可行流：（1）容量限制条件：对G中每条边，有（2）平衡条件：对中间点，有（即中间点的物资的输入量与输出量相等）对收、发点有（即从点发出的物资总量等于点输入量）W为网络流的总流量。第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日可行流总是存在的，例如就是一个流量为0的可行流。所谓最大流问题就是在容量网络中，寻找流量最大的可行流。一个流，当则称流对边是饱和的，否则称对不饱和。最大流问题实际是个线性规划问题，但是利用它与图的紧密关系，能更为直观简便地求解。定义21容量网络为发、收点，若有边集为E的子集，将G分为两个子图其顶点集合分别记分别属于，满足：①不连通；②为的真子集，而仍连通，则称为G的割集，记。第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日割集中所有始点在S，终点在的边的容量之和，称为的割集容量，记为。如图5-41中，边集和边集都是G的割集，它们割集容量分别为9和11。容量网络G的割集有多个，其中割集容量最小者称为网络G的最小割集容量（简称最小割）。二、最大流-最小割定理由割集的定义不难看出，在容量网络中割集是由到的必经之路，无论拿掉哪个割集，到便不再相通，所以任何一个可行流的流量不会超过任一割集的容量，也即网络的最大流与最小割容量（最小割）满足下面定理。第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理10设f为网络G=(V,E,C)的任一可行流，流量为是分离的任一割集，则有由此可知，若能找到一个可行流一个割集，使得的流量，则一定是最大流，而就是所有割集中容量最小的一个。下面证明最大流-最小割定理，定理的证明实际上就是给出了寻找最大流的方法。定理11（最大流-最小割定理）任一网络G中，从到的最大流的流量等于分高的最小割的容量。第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日证明设是一个最大流，流量为W，用下面的方法定义点集令若点且则令若点且则令在这种定义下，一定不属于，若否，则得到一条从到的链，规定到为链的方向，链上与方向一致的边叫前向边，与方向相反的边称为后向边，即如图5-42中为前向边为后向边。根据的定义，中的前向边上必有，后向边上必有第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日令当为前向边当为后向边取，显然。我们把修改为：为上前向边为后向边其余不难验证仍为可行流（即满足容量限制条件与平衡条件），但是的总流量等于的流加，这与为最大流矛盾，所以不属