湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题.docxVIP

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湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题

一、单选题

1．已知集合，若，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（）

A．2 B． C．4 D．8

3．已知向量，则向量在上的投影向量为（）

A． B．

C． D．

4．已知点满足，则的最小值为（）

A．2 B． C． D．4

5．下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（）

A． B．

C． D．

6．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（）

A．16 B．24 C．32 D．48

7．已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（）

A． B． C． D．

8．已知正实数满足和．则的值为（）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在平行六面体中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则平面

D．若，则平面

10．如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（）

A．与是相似椭圆 B．为中点

C． D．为定值

11．在中，是的中点，则下列结论正确的是（）

A．可以是钝角三角形

B．

C．若，则

D．

三、填空题

12．已知（为虚数单位，），则的值为．

13．若数列满足，则．

14．某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为．

四、解答题

15．在锐角中，内角的对边分别是，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围．

16．在多面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，四边形为平行四边形，分别为的中点．

(1)求证：；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

17．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

18．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．

(1)求的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．

19．已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线方程为为双曲线的左、右顶点．

(1)求双曲线的方程．

(2)过点作动圆（以为圆心）的两条切线分别交双曲线于异于点的，两点，试判断直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

(3)已知动点满足直线的斜率的乘积的绝对值为2，记动点的轨迹为曲线．过点作直线交曲线分别于和（其中的横坐标的绝对值均大于1），求证：直线与的交点在定直线上．

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《湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

D

C

C

B

A

A

AC

ABC

题号

11

答案

BCD

1．D

【分析】解一元二次不等式得集合，然后由集合的包含关系得参数范围．

【详解】，又，，

所以，

故选：D．

2．A

【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解.

【详解】成等差数列，成等比数列，

所以，且，则，

当且仅当时取等号，

故选：A.

3．D

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.

【详解】向量，则，

所以向量在上的投影向量为.

故选：D

4．C

【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解.

【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离，

又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，

设，则，

当且仅当时，等号成立，

故选：C.

5．C

【分析】由在区间上的单调性可排除ABD，根据函数的周期性和在区间上的单调性即可确定C正确.

【详解】对于A：当时，，函数在上显然单调递增，故A错误；

对于B：当时，，则在上显然单调递增，故B错误

；

对于D：时，，则，