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高考理科数学立体几何真题汇编

前言

立体几何作为高考数学理科试卷中的重要组成部分，不仅考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力，还对运算求解能力提出了较高要求。其题型稳定，分值占比可观，是决定数学成绩高低的关键板块之一。本汇编旨在通过对近年来高考真题的精选与剖析，帮助同学们梳理立体几何的知识脉络，掌握核心题型的解题策略，提升应试能力。我们力求所选题目具有代表性和前瞻性，解析过程注重思路引导与方法归纳，希望能为同学们的备考之路提供切实有效的助力。

一、核心知识脉络梳理

在进入真题演练之前，我们先来简要回顾立体几何的核心知识体系，这是解决一切问题的基础。

1.空间几何体的结构特征与三视图、直观图：

*熟悉柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。

*掌握三视图的画法规则（长对正、高平齐、宽相等）及由三视图还原几何体的方法，能识别简单几何体的三视图。

*了解斜二测画法画空间几何体的直观图。

2.空间几何体的表面积与体积：

*掌握柱、锥、台、球的表面积和体积公式，并能运用公式进行计算与解决实际问题。

*注意不规则几何体的“分割”与“补形”思想的应用。

3.空间点、直线、平面之间的位置关系：

*公理体系：掌握平面的基本性质（公理1、2、3、4）及其推论，它们是判断点线面位置关系、进行逻辑推理的基础。

*位置关系判定：

*直线与直线：平行、相交、异面。重点掌握异面直线所成角的概念。

*直线与平面：平行、相交（含垂直）。

*平面与平面：平行、相交（含垂直）。

*平行与垂直的判定定理和性质定理：这是立体几何证明题的核心，必须熟练掌握并能灵活运用。要注意定理的条件与结论，以及定理之间的相互推导。

4.空间向量与立体几何（理科重点）：

*空间直角坐标系的建立。

*空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示。

*利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系。

*利用空间向量求空间角（异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）和空间距离（点到平面的距离等）。

二、精选真题分类汇编与解析

（一）空间几何体的认识与计算

真题1：（某省高考题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）

（A）...（B）...（C）...（D）...

（*此处因文本限制，略去三视图图形，实际汇编中应配上标准三视图*）

解析与点评：

首先，根据三视图还原空间几何体的直观图是解决此类问题的关键。由正视图、侧视图和俯视图的形状，可以判断该几何体是由一个正方体（或长方体）与一个锥体（或柱体）组合而成，或者是某个基本几何体经过切割、挖空等操作后的剩余部分。

步骤：

1.定形：从俯视图入手，通常俯视图反映了几何体底面的形状。结合正视图和侧视图的高度及轮廓，想象整体结构。例如，若三视图中均有矩形，且其中一个视图有三角形，则可能是三棱柱或由棱柱与棱锥组合而成。

2.定量：根据三视图中标注的尺寸（或题目中给出的单位长度），确定几何体各部分的棱长、高、半径等关键数据。要特别注意“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系。

3.分割与计算：将组合体分解为若干个我们熟悉的基本几何体（如柱、锥、台、球），分别计算其体积（或表面积），再根据组合方式进行加或减。

本题中，（此处应根据具体三视图进行描述，例如：该几何体可以看作是一个棱长为a的正方体，在其上方（或某个角上）放置了一个底面为边长b的正方形、高为c的四棱锥）。

则其体积为正方体体积与四棱锥体积之和（或差）：V=a3+(1/3)b2c（或V=a3-...）。

点评：三视图问题的核心在于空间想象能力的培养。平时练习时，要多观察实物模型，动手画图，积累常见组合体的三视图特征。计算体积时，务必确保各基本几何体的尺寸对应准确，避免因数据混淆导致计算错误。

（二）空间点、线、面位置关系的判定与证明

真题2：（新课标全国卷真题改编）如图，在三棱柱ABC-A?B?C?中，侧棱AA?⊥底面ABC，AB=AC，D为BC中点。求证：

（1）AD⊥平面BCC?B?；

（2）A?B//平面ADC?。

（*此处应配上相应的几何体图形*）

解析与点评：

本题主要考查线面垂直的判定定理和线面平行的判定定理的应用，是高考立体几何解答题中的常见题型。

证明：

（1）要证AD⊥平面BCC?B?，根据线面垂直的判定定理，需证明AD垂直于平面BCC?B?内的两条相交直线。

∵AA?⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AA?⊥AD。（此条件若能用上则用，若题目未给侧棱垂直，则需另寻思路）

又∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。

∵侧棱AA?⊥底面ABC，且BB?//AA?，∴BB