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数学竞赛专题辅导中值定理上课用

罗尔定理：拉格朗日定理：柯西定理：1.微分中值定理一、几个中值定理2

其中余项当时为麦克劳林公式.假设函数内具有n+1阶导数,泰勒中值定理：3

根本初等函数的麦克劳林公式4

拉格朗日中值定理微分中值定理之间的相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理5

2.零点定理与介值定理1)零点定理：至少有一点且使2)介值定理：则对A与B之间的任一数C,推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.6

3.费马定理取得极值4.积分中值定理积分中值定理微分中值定理注：牛顿–莱布尼茨公式7

1.证明恒等式.2.证明不等式.4.证明有关中值问题的结论.经历1:二、中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤:(3)根据aξb的关系,证明出不等式.(2)利用中值定理,(1)设出辅助函数和区间，经历2：经历3:欲证(1)设函数(2)验证函数在区间上满足罗尔定理.3.极限的计算.8

1.证明恒等式例1.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:二、中值定理的主要应用9

例1.证明不等式证:设即因为所以因此应有10

例2证明：11

例3.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得12

例4.设函数f(x)在〔a，b〕可导，且证明f(x)在〔a，b〕内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.13

例13.极限的计算.14

4.证明有关中值问题的结论题型一.保号性定理例1.设试证：证:不妨设必有使故保号性定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在15

例2.设16

例2.设17

题型二.常用的构造函数的几种模型18

例4.设保号性定理证:不妨设必有保号性定理必有19

例5.设证:20

例6.设证:21

例7证明：22

题型三.例7.设解：23

例7.设24

例7.设25

例7.设26

题型四.27

例8.设在内可导,且证明至少存在一点上连续,在分析:问题转化为证：证明：设辅助函数显然故至少使即有存在一点28

例8.设证明：设辅助函数只需验证：分析:29

例8.设证明：30

例9.设证明：设辅助函数：只需验证：分析:31

题型五.32

例10.设分析:33

题型六.例11.试证存在证:欲证将①代入②,化简得故有①②即要证34

函数内可导,且证:(1)令使即(2005考研数1,2)(2)根据拉格朗日中值定理,使练习.35

练习：分析：解：36

Cauchy中值定理应用举例证明：所以37

备用.假设可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.38

总之，有关中值问题的解题方法:利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)假设结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)假设结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须屡次应用中值定理.(4)假设条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.39

5、泰勒公式用于无穷小的阶的估计例140

在的某邻域有一阶连续导数，且在x=0处若在时是h的高阶无穷小，试确定a,b的值41

6、泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数例142

?(2)f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且有求解由题设可得原式左端所以有由此可得43

7、利用泰勒公式判别函数的极值、曲线的拐点，例144

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