1.3-行列式依行(列)展开.pptVIP

1.3行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？定义1.6在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫做元素的余子式。记为称为元素的代数余子式。例如：注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。引理1.1假定行列式D的第一行除外都是0，则证明由行列式定义，D中仅含下面形式的项其中恰是的一般项。所以，引理1.2设D的第i行除了外都是0，则把D转化为引理1的情形证明把D的第行依次与第行，第行，······，第2行，第1行交换；再将第列依次与第列，第列，······，第2列，第1列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤。由性质1.4，行列式互换两行（列）行列式变号，得，行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理1.2例如，行列式按第一行展开，得证毕。行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即定理1.3证明：由定理1.2，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素则，第i行右端的行列式含有两个相同的行，值为0。综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。例1.13计算n阶行列式解将D按第一列展开得例1.14设（1）计算D的值；（2）计算（3）计算解（1）将行列式D的第2,3,4行分别乘以（-1）都加到第1行，则有（2）注意到行列式一行（列）元素的代数余子式与该行（列）元素无关，因此将行列式D1的第i行分别乘以（-1/i）都加到第1行，则有(3)由于D的第1列元素均为1，所以由定理1.3得例1.15证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证明：用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立。(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。n-1阶范德蒙德行列式证毕。练习：范德蒙行列式=-240