4.2(1)常系数齐次线性方程的待定指数函数法.pptVIP

方程通解为：例3：求的通解.解：特征方程故特征根为其中为任意常数.其中是单根，是三重根，例4：求的通解解：特征方程方程的四个实值解为：故通解为特征根是二重根.其中为任意常数.三欧拉方程的解法欧拉方程法一：令将欧拉方程化为常系数 齐次微分方程特点：法二：例5：求解：令，则把上式代入原方程得上述方程的通解为故原方程的通解为：其中为任意常数.复值函数常系数齐次方程的通解欧拉方程求解此处不能讲得太细，学生听不懂，按幻灯片讲即可。*目录上页下页返回结束4.2高阶常系数线性微分方程的解法在上一节中我们讨论了线性方程通解的结构问题，但却没有给出求通解的具体方法，对一般的线性方程没有普遍的解法，但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，可以说是彻底的解决了，本节将求解常系数微分方程的通解的解法。复值函数常系数齐次方程的通解欧拉方程求解4.2(1)高阶常系数齐次线性微分方程的解法一复值函数如果和是区间(a,b)上定义的称为区间(a,b)上实函数，的复值函数.1连续如果实函数和在区间(a,b)上就称在区间上(a,b)上连续.连续,2可微如果实函数和在区间(a,b)上就称在区间上(a,b)上可微.可微,有如下性质:且复值函数的导数定义如下:若和可微,为复值常数，那么3欧拉公式1)复指函数与欧拉公式性质1:性质2:性质3:其中由(4.2.1)中的两个式子可得:(4.2.1)公式(4.2.1)-(4.2.3)通称为欧拉公式.(4.2.2)(4.2.3)我们仅证明性质32)复指函数的性质记表示的共轭.性质1:性质2:性质3:4复值解考虑方程其中及是区间上的实函数.若有区间（a,b）上复值函数:为上述方程的复值解.满足上述方程，则称定理4.8如果方程而是该方程的复值解,则中所有系数都是实值函数.以及的实部和虚部的共轭也都是该方程的解.(4.2.4)证明：由已知条件及的性质可得因此可得由此得所以，都是方程（4.2.4）的解即也是方程（4.2.4）的解.又二常系数齐次线性方程求解（4.2.5）其中为常数.利用待定指数函数法求其基本解组.一阶常系数齐次线性微分方程有通解因此，对高阶齐次方程求指数函数形式的解（4.2.6）代入高阶齐次方程得因此，是高阶齐次方程的解的充要条件为：是代数方程的根。方程（4.2.7）称为高阶齐次方程的特征方程，它的根称为高阶齐次方程的特征根.（4.2.7）1特征根为单根设是（4.2.7）的n个不相同根，则对应高阶齐次方程有n个解（4.2.8）这n个解在区间线性无关，从而构成高阶齐次方程的基本组解.所以解组（4.2.8）线性无关.（1）若均为实数，则（4.2.8）是方程（4.2.5）的n个线性无关的实值解，则方程（4.2.5）的通解为其中为任意常数.（2）若中有复数，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现.设是特征根，则也是特征根，则方程相应地有两个复值解：由定理4.8知它们的实部和虚部也是方程的解，故方程的两个实值解为：2特征根有重根设特征方程有k重根,则求得高阶齐次方程k个解则特征方程有，因此，若（1）则特征方程有因子如下形式：证明：而对应的方程（4.2.5）变为：显然它有k个解，且它们线性无关，从而可得：特征方程的k重零根对应方程（4.2.5）k个线性无关解为（2）若我们作变换，并代入高阶齐次方程，经整理得到：（4.2.9）其中（4.2.10）仍为常数。方程（4.2.10）相应的特征方程为：（4.2.11）由（4.2.7），（4.2.9），（4.2.10），（4.2.11）得：因此从而有可见（4.2.7）的k重根对应着（4.2.11）的k重零根.这样就转化为前面讨论过的情形.由前面的讨论知道，方程（4.2.11）的重零根对应着方程（4.2.10）的个解.因而对应着方程（4.2.5）的个解（4.2.12）类似地，假设方