陕西师范大学《常微分》课件1.2 微分方程的基本概念.pptVIP

***目录上页下页返回结束一、有什么用？考试，数学建模，应用广泛；二、准备知识：数学分析、高等代数；三、教学安排：44+4；四、成绩给定：100=30%平时成绩+70%期末考试；作业，期中测验，出勤；五、授课内容：课本前5章。课程介绍§1.2常微分方程的基本概念常微分方程概念解，通解，特解3.几何意义（积分曲线、方向场）4.常微分方程发展简史常微分方程概念凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。例如：微分方程组。§1.1微分方程的8个实例（重点看数学摆模型，人口模型，传染病模型，生物种群生态模型）。如果微分方程中未知函数只依赖一个自变量，称为常微分方程。1.1常微分方程与偏微分方程如果微分方程中未知函数依赖两个或更多的自变量，称为偏微分方程。注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。n阶微分方程的一般形式为：其中：的已知函数，是变量而且一定含有；是未知函数，是自变量.1.2方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶数。1.3线性和非线性n阶线性微分方程的一般形式：例：指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的解，通解，特解2.1解和隐式解若关系式决定的隐函数是为方程的隐式解上述方程的解，则称将其代入方程后，能使它变成为方程的解恒等式，则称函数设是定义在区间（a,b）上的n阶可微函数，证明:例：验证都是微分方程在上的解。例：有隐式解（任意常数）把含有n个相互独立的任意常数称为n阶方程的通解。的解n阶方程的通解：若存在的一个邻域，使得则称含有n个相互独立的常数。2.2通解和特解例：是的通解。因为而是指如下的n个条件：的初始条件阶微分方程其中是给定的个常数。定解条件：为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，这就是定解条件，常见的定解条件是初始条件和边值条件。例：验证函数是微分方程满足初始条件的特解。满足定解条件的解为微分方程的特解。定解条件不同，对应的特解也不同。求微分方程满足定解条件的解，就是所谓的定解问题。当定解条件为初始条件时，相应的定解问题，就称为初值问题，也称Cauchy问题。3.几何意义（积分曲线、方向场）3.1积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.3.2方向场在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所定义的方向场.例例积分曲线方向场方向场示意图积分曲线例常微分方程发展简史课本24页主要发展阶段：求通解求特解求所有解求特殊解前五章主要涉及前两个阶段，第六章涉及后两个阶段本节要求：快速识别：常微分方程，阶，线性微分方程；理解：积分曲线方向场重点掌握：验证解，通解，特解；******目录上页下页返回结束*********