24.2.2切线的判定与性质及切线长定理(10大题型)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

24.2.2切线的判定与性质及切线长定理

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

注意：切线的判定方法：

（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；

（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.

题型1：切线的判定-连半径证垂直

1.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．

【变式1-1】如图，在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且AB=AC，PE⊥AC于点E，求证：PE是⊙O的切线．

【变式1-2】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.求证：CD是⊙O的切线.

题型2：切线的判定-作垂直证半径

2.ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．

求证：AC是⊙O的切线．

【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.

【变式2-2】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝12

题型3：切线的判定多选项问题

3.下列说法中，不正确的是（）

A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线

B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线

D．垂直于半径的直线是圆的切线

【变式3-1】下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【变式3-2】如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中点，连接DF.给出以下五个结论：①BD＝DC；②AD＝2DF；③BD=DE；

A．4 B．3 C．2 D．1

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.

注意：切线的性质：

（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

题型4：切线的性质-求长度

4.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为（）

A．8 B．162 C．42

【变式4-1】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C．若∠D=30°，CD=23，则AC

A．6 B．4 C．23

【变式4-2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．

题型5：切线的性质-求角度

5.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（）

A．35° B．40° C．45° D．50°

【变式5-1】如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点．若∠P=70°，求∠C的大小．

【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若CA=CD，试求∠A的度数.

题型6：切线的性质-求半径

6.如图，在Rt中，∠A=90°，点O在AC上，⊙O切BC于点E，A在⊙O上，若AB=5，AC=12，求⊙O的半径．

【变式6-1】如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．

（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；

（2）若AC＝23，CE＝2，求⊙O半径的长．

【变式6-2】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M，

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径.

切线长定理

切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.

注意：

切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段；切线长定理包含两个结论：线段相等和角