24.3正多边形和圆(7大题型)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

24.3正多边形和圆

正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

注意：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

题型1：正多边形的相关概念

1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（）

A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形

B．存在一个正多边形，它的外角和为720°

C．任何正多边形都有一个外接圆

D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形

【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）

A．45°B．60°C．75°D．90°

【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）

A．30°B．45°C．55°D．60°

正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形

题型2：正多边形与圆有关的计算-角度

2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（）

A．45° B．38° C．36° D．30°

【变式2-1】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（）

A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°

【变式2-2】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．

题型3：正多边形与圆有关的计算-长度

3.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（）

A．2 B．23 C．3 D．

【变式3-1】如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若∠AOB是某正n边形的一个外角，则n的值为（）

A．16 B．12 C．10 D．8

【变式3-2】如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝22，则⊙O的半径为（）

A．2 B．6 C．22 D．2

【变式3-3】如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．

（1）求∠BPC的度数；

（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

题型4：正多边形与圆有关的计算-面积

4.如图，已知圆O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距n，面积S．

【变式4-1】已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则五边形BCDEP的面积是（）

A．12 B．123 C．18 D．

【变式4-2】如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为.

正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形.

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.

②正六、三、十二边形的作法.

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分…….

注意：画正n边形的方法：（1）将一个