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2025年新疆数学（理科）专升本练习题及答案

一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=2x^33x^2+1在x=2处取得极值，则f(2)等于()

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：A

解析：由极值点的定义，函数在极值点处的导数为0。因此，f(2)=0。

2.设函数y=e^x2x，则该函数在x=0处的切线方程为()

A.y=x

B.y=x

C.y=2x

D.y=2x

答案：D

解析：函数的导数y=e^x2，在x=0时，y=e^02=1。因此，切线斜率为1。又因为切点为(0,1)，故切线方程为y1=1(x0)，即y=x+1。

3.设函数y=x^33x^2+2，求该函数的极值点及极值。

A.极大值点x=0，极大值2；极小值点x=2，极小值2

B.极大值点x=0，极大值2；极小值点x=1，极小值2

C.极大值点x=2，极大值2；极小值点x=0，极小值2

D.极大值点x=1，极大值2；极小值点x=2，极小值2

答案：B

解析：求导得y=3x^26x，令y=0，解得x=0或x=2。将x=0和x=2分别代入原函数，得y(0)=2，y(2)=2。故极大值点x=0，极大值2；极小值点x=1，极小值2。

4.已知等差数列的前5项和为25，第5项为15，求该等差数列的首项和公差。

A.首项5，公差4

B.首项5，公差2

C.首项10，公差2

D.首项10，公差4

答案：B

解析：设等差数列的首项为a，公差为d，则第5项为a+4d=15。前5项和为5a+10d=25。联立方程组求解，得a=5，d=2。

5.若矩阵A=[[2,3],[1,2]]的逆矩阵存在，求其逆矩阵。

A.[[2/5,3/5],[1/5,2/5]]

B.[[2/5,3/5],[1/5,2/5]]

C.[[2/5,3/5],[1/5,2/5]]

D.[[2/5,3/5],[1/5,2/5]]

答案：A

解析：矩阵A的行列式为2231=1。因为行列式不为0，所以逆矩阵存在。逆矩阵的公式为A^(1)=(1/|A|)adj(A)，其中adj(A)为A的伴随矩阵。求得伴随矩阵为[[2,3],[1,2]]，所以逆矩阵为(1/1)[[2,3],[1,2]]=[[2,3],[1,2]]。

二、填空题（每题4分，共40分）

1.函数y=x^33x^2+2在x=1处的导数是______。

答案：0

2.矩阵A=[[2,3],[1,2]]的行列式是______。

答案：1

3.等差数列的前5项和为25，第5项为15，该等差数列的首项是______。

答案：5

4.若函数y=e^x2x，则该函数在x=0处的切线斜率是______。

答案：1

5.设函数y=x^24x+3，求该函数的极值点及极值。极值点为______，极大值为______，极小值为______。

答案：x=2，极大值1，极小值1

三、解答题（共20分）

1.（10分）已知函数y=2x^33x^2+1，求该函数在x=2处的切线方程。

解：求导得y=6x^26x。在x=2时，y=62^262=12。切点为(2,f(2))=(2,2^332^2+1)=(2,1)。切线方程为y1=12(x2)，即y=12x23。

2.（10分）设函数y=x^24x+3，求该函数的极值点及极值。

解：求导得y=2x4。令y=0，解得x=2。当x2时，y0；当x2时，y0。故x=2为极小值点。将x=2代入原函数，得y(2)=2^242+3=1。因此，极小值点为x=2，极小值为1。